条件期望值：一个例子

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动态规划原理是有关条件期望值的简单但强大的定理的一个应用。本节用一个例子介绍条件期望值的概念和相应的定理。下一节将讨论一般情形，但限制在有限样本空间。换言之，我们所考虑的随机变量只能取有限个不同的值。类似于第6章不处理连续时间模型的理由1，讨论一般样本空间所需要的数学水平也远超出本书所假定的水平。特别是，对于有限样本空间，条件概率和条件期望值的定义一点也不基础；对于非有限样本空间，它们对那些没有深入现代数学殿堂内部的人则完全是难以理解的。现代数学以康托（Cantor）对可数和不可数无限集的区分为开端。

表8-1展示了一个样本空间，它表示投掷一对骰子的各种可能结果。第一列表示状态i（从1到N=36）。第二列表示第i个状态发生的概率pi。在当前的例子中，所有的pi都等于1/N。其余的列表示定义在这个样本空间上的随机变量。

表8-1　样本空间及其随机变量

假设一次投掷一个骰子。第一个随机变量，在表中第三列，是骰子1（第一个投掷的骰子）的值D1。下一列表示骰子2的值D2。再接下来的一列显示两个骰子值的和。

表8-1将样本空间的36个样本点划分为6个子集，由空白行来分开。我们将之称为样本空间的一个分割。正如任何分割一样，这个分割的子集是互斥的（没有样本点在两个或更多集合中）和穷尽的（样本空间的每一点都在某个子集中）。我们将分割所形成的集合标记为P1，P2，…，PK，此处K=6。

在当前的例子中，分割的每一个集合包含的都是骰子1的值相同的样本点。例如，P3中的所有样本点的骰子1的值都等于3。表8-1显示，如果一个随机抽取的样本点i在P3中（用符号表示为i∈P3），那么两个骰子值的和S必定为4、5、6、7、8或9。给定i∈P3的条件概率分布，可通过删除除骰子1等于3之外的所有行，然后重新调整第二列中的概率使它们的和等于1而得到。因此，给定P3中的样本点，该样本点取各种值的概率为

表8-1的第六列为给定i属于一个特定的分割时S的条件期望值。我们将其表示为

读作“给定i属于Pk，S的期望值”。它根据表8-1第五列的和S（i）运用条件概率计算得到。于是

在本例中，由于i∈P3等同于D1=3，我们也可以将E（S|i∈P3）写成E（S|D1=3）。

注意E（S|i∈Pk）是定义于这个有36个样本点的样本空间的随机变量。换言之，样本空间36个样本点中的每一个，都被分配了一个值E（S|i∈Pk）。一个给定分割中所有样本点的值都是相同的。例如，P1中所有样本点都有

表8-2给出了一个新的样本空间，其样本点的个数与表8-1中的分割数（K=6）相同。分配给表8-2中样本点k的概率与表8-1中i∈Pk的概率，也即当i∈Pk时概率pi之和

相同。表8-2中第三列的随机变量等于条件期望和E（S|i∈Pk），表8-1中所有属于Pk的i都具有该值。

表8-2　相关的样本空间

接下来我们需要的关系式是

或者，更简洁地写成

用语言表述就是，初始36个样本点的样本空间中S的期望值，与初始36个样本点的样本空间或它所隐含的6个样本点的样本空间中随机变量E（S|i∈Pk）的期望值是相同的。读者可以运用本例中的数字对此进行验证。在下一节，我们将证明式（8-12）对任意分割和定义于任意有限样本空间上的随机变量都是成立的。

一般情形

设随机变量r（i）在一个有限样本空间的N个样本点上的取值为v1，v2，…，vN。N个样本点的概率为p1，p2，…，pN，则r（i）的期望值为

设P是样本空间的一个分割，它将样本空间分割为K个互斥和穷尽的集合P1，P2，…，PK。随机选择的i在PK中的概率Prob（Pk）由式（8-10）给出。给定i∈Pk，i的概率为

如前面所描述的，除了那些i在Pk中的行外，删掉其余所有行，然后调整剩下的pi使它们的和等于1，就得到式（8-13）的第一行。与前一节中的例子相同，给定相关的样本点i在分割Pk中，随机变量r（i）的条件期望值通过条件概率计算。利用当前的符号，即

式（8-14）可以是仅对i∈Pk求和，也可以是对从1到N的所有i求和，因为当i不在Pk中时，∑Prob（i|i∈Pk）=0。

再一次，像前一节中的例子那样，我们可以定义一个新的有K个样本点的样本空间，每个样本点都对应分析中的一个分割，Prob（i∈Pk）（k=1，2，…，K）是分配给这K个样本点的概率，E（r|i∈Pk）（k=1，2，…，K）为定义在该样本空间上的随机变量的值。

现在，我们着手证明如下定理：

定理：式（8-11）及其解释式（8-12）都是成立的。

证明

除变量的名称外，式（8-15）第一行的左侧与式（8-12）的右侧相同，并且式（8-15）最后一行的右侧与式（8-12）的左侧相同。中间的步骤表明这两者是相等的。具体而言，第一行的右侧是将期望值的定义应用于随机变量E（r|i∈Pk）；第二行的右侧是将式（8-10）、式（8-13）和式（8-14）代入第一行的右侧而得到的。将第二行分母和分子中的项（∑i∈Pkpi）约去，就得到第三行。倒数第二行是通过将上一行中的项按不同的顺序相加得到。最后一行运用了期望值的定义。

证明完毕