注释

《风险-收益分析：理性投资的理论与实践（第2卷）》注释,页面无弹窗的全文阅读!

第6章

1.在马科维茨（Markowitz，1959）对HDM和RDM进行区分之前，西蒙（Simon，1947）做了基本相同的区分，他将前者描绘为具有“有限理性”。在西蒙（1947）和马科维茨（1959）之间的一个假设性、柏拉图式的对话中，马科维茨会说：

我同意人类是有限理性的。但总有一些人寻求在一个或另一个领域做出改进，这一点可通过存在大量的“指南”类书籍和杂志来证明。我希望帮助那些寻求更好投资方式的人们。我的假设是，在实践上向理性决策逼近，有助于实现这一目标。

我们希望西蒙（1947）的回应是支持我的观点的。

2.本注释说明了严格地理解连续时间金融模型所需的数学知识，与阅读本书所需的预备知识差距有多大。关于这些数学知识的一个易于阅读同时又严谨的介绍，参见哈尔莫斯（Halmos，1974）的著作或柯尔莫哥洛夫和福明（Kolmogorov and Fomin，1957）的著作。具体而言，我们将给出两个例子，说明读者对诸如“连续函数”等概念的典型直觉，并不足以应对连续数学世界中出现的奇怪而奇妙的事物。在两个例子中，我们都考虑如下函数

y=f（x）

函数定义于单位区间0≤x≤1上，并且有

f（0）=0　f（1）=1

两个例子都展示出与直觉相悖的性质。

例1。点（x，f（x））（x从0变化到1）描绘出的连续路径的长度L，通常能够由①将“X轴”上的单位区间［0，1］划分为n个长度为1/n的子区间；②测量在这n个点处曲线上相继点之间的距离；③将这些距离相加来逼近。通常，如果n足够大，那么该有限和将接近于当x从0变化到1时所描绘出的连续路径的长度。但也有可能当n→∞时，这些线段的和无限增加。特别地，当路径是由像布莱克和斯科尔斯（Black and Scholes，1973）文章中假设的那样遵循布朗运动的价格对数描绘时，包括那些从f（0）=0出发并且恰好有f（1）=1的路径，这一点几乎必然成立。我们猜想只有很少的（如果有的话）非数学背景的读者能从直觉上理解当一条连续的曲线从（0，0）游历到（0，1）时，它怎样能够经过无限的距离。

例2，康托函数。我们的第二个例子运用了“零测度集”的概念。通过举例说明的方式，回忆一下，一个均匀地分布在0和1之间的随机变量r恰好等于0.5的概率为0，因为这一概率必定低于随机变量落在0.5-1/n和0.5+1/n之间的概率。通过选择足够大的n，可以使后者小于任意的正数。这样就说区间［0，1］中的单独一个点{0.5}是一个“零测度集”。类似地，r等于有限个预先指定的值如{0.01，0.02，…，0.99，1.00}中任意一个的概率为0。这也是一个零测度集。不那么明显但是（如柯尔莫哥洛夫和福明的著作中证明的）是概率论中标准结论的是，r是一个有理数的概率为0。在单位区间上，所有有理数是一个零测度集，因而所有无理数是测度为1的集合。

康托函数：

y=f（x）

定义于区间0≤x≤1上。在这个区间，它“几乎处处”有导数。具体而言，除了在一个零测度集上，都有

尽管如此，从f（0）=0到f（1）=1，康托函数仍然是一个连续函数，从而随着x从0变化到1，f（x）取到［0，1］中的每一个值（参见哈尔莫斯对康托函数的描述）。

3.有了现代高频股票交易技术，看起来似乎能够忽略“高频”和“连续”交易之间的区别。但恰恰相反，两者之间的区别至少仍像过去一样重要。例如，在撰写本章时，《华尔街日报》上报道了如下一则新闻：

高速交易员利用芝加哥商业交易所（Chicago Mercantile Exchange）电脑系统不为人知的一面，在其他投资者获得相同的信息之前在期货市场顺势而为进行交易……根据《华尔街日报》采访的那些熟悉交易和交易记录的人士，这一优势通常仅为1~10毫秒。但对于利用电脑技术进行交易的交易员而言，这是足够的时间了。他们说他们能够（在这样短的时间）对订单进行结构化安排，这样交易确认文件就透露出原油、棉花和其他大宗商品价格的变动方向。

2013年5月1日，C1版

在一个更加从容的时间尺度上，《华尔街日报》在2013年6月13日一期的头版，题为“交易员为之前偷看关键数据付出代价”的报道称：

3月15日的早晨，受消费者信心的一个关键数据出乎意料的低影响，股票市场下挫。一群投资者已经知道了这一点。他们比公众提前两秒钟获得了密歇根大学的消费者报告。

在真实世界，几毫秒明显要比瞬间长许多。

连续时间模型经常假设：①连续的价格变动；②连续交易；③完全流动的市场。这种假设组合不仅极不现实，甚至可能是有害的。例如，1987年年中，价值900亿美元的机构资金运用“投资组合保险”（不要与投资组合理论相混淆）进行管理。投资组合保险是一个数学公式，它复制了标准普尔500指数的一个看涨期权。根据布莱克斯科尔斯期权定价模型，看涨期权是多余的，因为人们可以通过在时间上连续反复地调整现金股票比而达到同样的效果。投资组合保险规定了每天的投资组合调整，这与布莱克斯科尔斯的连续时间调整是接近的。运用一种与标准普尔500指数看涨期权等价的数学方法，而非实际的看涨期权本身，优点是投资机构并不需要真的购买900亿美元的标准普尔500指数看涨期权。对于投资组合保险的卖方和买方而言，这么多甚至更多的资金是能够按照一个基于布莱克斯科尔斯的公式进行管理的。

这个公式确保当市场上升时，投资者的收益会和按照布莱克斯科尔斯价格购买等值看涨期权时所能获得的利润一样多，而当市场下挫时，投资者大体上只会损失复制的看涨期权价格。这通过在市场上升时买入而在市场下挫时卖出来实现。特别地，投资组合保险公式能够足够快速地确定卖出，这样如果市场大幅下跌，投资者很快就会清空股票，足以确保损失不会超过复制的看涨期权价格。

但很多大型基金在市场上升时买入，意在进一步推动市场上涨；反过来，很多大型基金会在市场下挫时卖出，意在进一步打压市场。在1987年10月19日“黑色星期一”之前的周五，市场已经大幅下跌。这意味着投资组合保险者需要抛售。大型的经纪公司知道这一点，它们最先抛售。投资组合保险者经常利用标准普尔500指数期货市场而非实际的（现货）市场，因为前者具有巨大的流动性。但在黑色星期一的骚动中，期货市场与现货市场脱节，此时抛售标准普尔500指数股票篮子，需要通过现货市场来进行。根据《总统特别小组关于市场机制的报告》（Report of the Presidential Task Force on Market Mechanisms）（Brady，Cotting，Kirby，Opel，and Stein，1988）第41页：

投资组合保险者运用的公式决定了在很短的时间内抛售200~300亿美元的股权。在这样的压力下，股票价格必定大幅下跌。交易系统，如订单转送及成交回报系统（designated order turnaround，DOT），或市场稳定机制，如纽约证券交易所（NYSE）的经纪人，必定会被这样的抛压所击垮，而无论它们是怎样设计的或资本金有多么雄厚。

这与第36页注释5中“估计星期一开盘时经纪人的买盘力量不超过30亿美元”形成了对比。

问题在于投资组合保险是基于布莱克斯科尔斯模型，后者假设在一个完全流动性的市场中连续交易。这个模型本身无所谓对与错，它是一组具有有趣的数学含义的前提条件。当模型开出的处方被管理着900亿美元的机构投资者所运用时，模型是适用的假设比错误还要糟糕，变成灾难性的。

黑色星期一后不久，在巴鲁克学院举办的一次圆桌会议上，马科维茨首先发言，他断定，股市崩溃之所以十分严重，是因为广泛运用了投资组合保险。费雪·布莱克（Fisher Black）第二个发言，他认为只要调整投资组合的投资者的资产管理规模（assets under management，AUM），等于或超过投资组合保险者的资产管理规模，那么投资组合保险者的存在就是有益的，因为投资组合调整者会在价格上升时卖出，在价格下跌时买入，从而总是在与投资组合保险者相对的市场另一边。

金姆和马科维茨（Kim and Markowitz，1989）专门编写了一个模拟程序，用以检验布莱克的观点。金姆和马科维茨的模拟程序（KM模拟程序）运用了投资组合保险的固定比例投资组合保险（constant proportion portfolio insurance，CPPI）版本，它由布莱克和琼斯（Black and Jones，1987）提出。这种处理简化了必要的投资组合保险购买或出售的计算，但具有与合成期权投资组合保险非常相似的一般性质。类似于第7章描述的JLMSim，KM模型（用SIMSCRIPTⅡ.5编写）中的价格和数量是内生的，是由遵循机械规则的投资者下单产生的生产和需求交叉的结果。JLMSim和KM模型的主要区别是，在前者中投资者是MV优化者，而在后者中则要么是投资组合调整者，要么是投资组合保险者。每一种类型的投资者数量都是KM模拟程序的参数。金姆和马科维茨的一般结论是：“因此，在这个由1/3的CPPI投资者和2/3的投资组合调整者组成的试管世界（test tube world）中，1987年10月19日量级的崩盘，几乎每个季度都会发生。”

第7章

1.此处和本卷中，我们忽略“联立方程”模型。在联立方程模型中，两个或更多状态变量的值是作为一组同时成立的方程的解而确定的。

2.罗宾逊（Robinson，1974）的著作对“无穷小量”做了严格处理。莱布尼茨（Leibnitz）曾试图在他的微积分中运用这种处理，但由于当时形式逻辑尚未得到充分发展而未能成功。在罗宾逊的“非标准分析”小节，无穷小量ε是一个比0大但比任意正实数都要小的“超实数”。它结合了实数和ε的幂，就像莱布尼茨所期望的那样。例如

SIMSCRIPTⅡ包含了预先定义的常数，例如PI.C，它接近于pi（π）。它也包含了常数RINF.C，表示无穷大。特别地，语句“RINF.C>R”对于任意实数R都是成立的。SIMSCRIPTⅡ本也可以包含常数EPSILON.C，使得

对于任意的R>0总是成立的。像式（N1）那样更一般的表达式同样是成立的。

EPSILON.C能够被证明在异步模拟程序编程中非常有用。在正文中，我们指出无论是在同步还是异步模拟程序中，一个单独的事件事实上可能是一系列时间上极为接近的相继事件。目前，在异步模拟程序中，如果两个事件被安排在同一模拟时间发生，那么这两个事件的行动是无法交错执行的。一个事件例程首先获取控制权，并在另一个事件例程获取控制权之前执行所有的行动。通过引进EPSILON.C，就可以简洁和一般地引入交错行动执行。例如，一个进程可以安排行动在当前时刻加上等于式（N1）中任意正超实数之时间增量的时刻发生。这些行动将按照指明的顺序执行，并且能够在“真实”时钟停止时与其他进程的行动交错执行。同样，在所有模拟事件之后执行的各种分析例程可以安排在

SimTime.V=i/ε，i=1，…，n

时执行。

3.马科维茨的“生命周期博弈”与加里·贝克尔（Gary Becker）的“生活中的经济学”之间的区别，是注意力主要集中在哪里。生命周期博弈聚焦于不确定性下的金融规划，而贝克尔的工作则趋向于强调重要的生活方式决策，例如是否走上犯罪的道路。参见贝克尔和贝克尔（Becker and Becker，1997）的著作。

第8章

1.在这一点上，我们认为一个策略类似于一个可伸缩的卷尺。它的标准型是收缩的，当使用时则是展开的。这样的卷尺应用广泛。

2.这里介绍的动态规划方法，出现在完全信息博弈的vNM解中。贝尔曼（Bellman，1957）拓展了这一方法，他将大量注意力放在各种离散和连续博弈长期解的存在性和唯一性上。

3.这与如下情形形成对比：对任意的行动α，都存在一个更好的行动β，因为EU是无界的，或约束集不是“紧集”的。

4.对于动态模型优化问题，随机线性规划（stochastic linear programming，SLP）是动态规划的一种替代性方法。一般而言，任何线性规划（LP）问题（Danzig，1951，1963）都是寻求线性函数

在线性等式约束条件

以及非负变量约束

Xj≥0，j=1，…，n

下的极小值或极大值。

在一个多时期的非随机线性规划（Dantzig，1955b）中，在时期t=1，…，T，约束方程可以划分为与可用资源或所生产产品有关的约束集P1，…，PT。一项给定的“行动”Xj可能使“输入”和“输出”（aij≠0）只限于1个时期或延续多个时期。如果我们加入随机性（Dantzig，1955a），那么约束方程可以根据时期t=1，…，T和情景s=1，…，S来划分。一项给定行动可能使其非零aij限于一种（情景和时期）组合，也可能使之散布于多种组合。SLP包含了协助这类LP问题求解的方法。在那些状态空间的维数n对于确切的DP优化问题非常大但T却较小的模型中，这一方法表现突出。当n和T都很大时，DP和SLP都是不可行的。

韦茨和津巴（Wets and Ziemba，1999）编辑了一期专门探讨随机规划，并包含大量参考文献的《运筹学年刊》（Annals of Operations Research）。里面的一些应用性文章被重新收录在津巴和马尔维（Ziemba and Mulvey，1998）编纂的论文集《全球资产和负债管理建模》（Worldwide Asset and Liability Modeling）中。在导论章中，津巴和马尔维将当时最新的发展情况总结为：

计算上的困难由随机规划框架中情景树（scenario tree）的性质引起。决策变量的个数呈指数式增长。在大多数情形中，我们可以通过减少从节点特别是那些接近规划区间末尾的节点散发出来的分杈来修剪情景树。同样，我们可以应用方差减小方法和其他统计方法，如重点抽样（Infanger，1994）和完全信息期望值（Dempster，1997）。

求解随机规划的主要算法可以分为3类：直接求解，特别是内点法……基于本德斯分解（Bender’s decomposition）的分解法……以及基于增广的拉格朗日乘数法的分解法……这些算法在利用情景树的结构上非常高效。现在，我们已能够求解有超过10000个情景的非线性随机规划问题。随着计算机运算速度每年提高40%～50%，我们能够求解规模以相似速度增长的随机规划问题。

我们聚焦在DP而非SLP上，不是因为它们在求解大型动态问题时相对能力有别，而是因为我们将DP原理应用于对诸如第11章中阐明的最优动态策略进行显式或隐式MV近似。例如，第11章中描述的马科维茨和范戴克试探法，基于对（未知的）导出效用函数的二次近似，处理了这一情形。

津巴（2015）考察了求解多时期投资组合选择问题的其他方法。具体而言，津巴指出：

模拟法：输出结果太多而难以理解，但它是一种非常有用的检查方法。

均值方差法：这种方法求解单时期问题还行，但很难应用于多时期问题，并且还有缺陷。它假设均值和方差是已知的。

期望对数效用法：……

随机控制法：……

随机规划/随机控制法：……

随机规划法：这是我使用的方法。

连续时间建模尽管在学术界非常流行，但在真实世界中似乎是不可行的。

一点也不奇怪，我们的观点在某些方面与津巴不同。例如津巴将均值方差分析描述为“适用于单时期的”，这与马科维茨（1959）著作第11章以及本卷的观点不同。对于“已知的”均值和方差，均值方差分析的一个优点是只需要估计均值、方差和协方差，而不需要估计整个联合分布。

第9章

1.参见第8章的尾注3。

2.这里我们说“谨慎的”投资者而不是“风险规避的”投资者，是因为按照已经确定的术语，当且仅当投资者具有严格凹的效用函数时，才说其是“风险规避的”。因此，根据这里所用的术语，一个风险规避的投资者有可能不是谨慎的。

3.2014年1月6日，马科维茨给罗杰·伊博森（Roger Ibbotson）和其他人发送了如下的电子邮件：

亲爱的朋友们，

《伊博森股票、债券、票据和通胀年鉴（2013）》（Ibbotson SBBI Classic Yearbook for2013）第176页指出，总体上，伊博森估计典型投资者的人力资本更像债券而非股票。伊博森将平均人力资本构建为30%的股票和70%的债券。这一决策是1998年6月由当时的伊博森公司咨询委员会（Ibbotson’s Advisory Board）做出的。委员会成员包括哈里M.马科维茨、丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahneman）、杰夫·杰斐（Jeff Jaffe）、什洛莫·贝纳茨（Shlomo Benartzi）、约翰·卡罗尔（John Carroll）和理查德·泰勒（Richard Thaler）。

我不记得有这样一个会议。我的记忆力算不上很好，但我通常记得我曾经在谁的咨询委员会服务过。例如，我记得我和上面列出的一些或全部成员曾经在TCW集团谢利·格拉波特（Sherrie Grabot）主管部门的咨询委员会服务过，但我不记得（在那样的环境下或任何其他环境下）就人力资本特征是债券型的还是股票型的表决过。

有谁记得这次会议吗，或者能够予以澄清吗？

祝好，哈里

只有罗杰·伊博森在2014年1月8日回复了我，内容如下：

亲爱的哈里：

2008年6月11日，伊博森咨询委员会（Ibbotson Advisory Board）在TCW集团位于洛杉矶的办公室召开了一次会议。会议是关于TCW集团Guided Choice项目的。根据会议记录，所有我之前提到的参与人都参加了会议，伊博森公司（Ibbotson Associates）的员工也在场。我没有与会，因为当时我正在芝加哥参加伊博森公司举办的讨论会。我参加了咨询委员会随后在芝加哥伊博森公司办公室召开的会议，你和其他几位参与人也参加了这次会议。你可能是代表TCW集团参加这些会议，因为当时伊博森公司与TCW集团合作开展了一些业务。

我会建议晨星/伊博森公司（Morningstar/IA）修改新的2014年SBBI年鉴中的措辞，以仔细地反映发生了些什么。目前新的2014年SBBI年鉴正在编写中。

2014年的SBBI年鉴在第188页指出：

1998年伊博森公司咨询委员会成员包括哈里M.马科维茨、丹尼尔·卡尼曼、杰夫·杰斐、什洛莫·贝纳茨、约翰·卡罗尔和理查德·泰勒。咨询委员会在多个生命周期建议的主题上给予了指导。这些会议的成果之一是典型投资者的人力资本类似于一种垃圾债券的观点。在“正常”时期，垃圾债的交易更像债券，但在经济动荡时期，则更像股票。最终，伊博森决定将典型投资者的人力资本构建为30%的股票和70%的债券。

这与马科维茨的记忆是一致的，马科维茨是作为TCW集团的代表参加这些联合会议的。后来TCW集团剥离出了GuidedChoice公司，谢利·格拉波特担任其CEO。一段时间后，格拉波特邀请马科维茨组建GuidedChoice公司的研发团队，如第7章中描述的那样。

4.无论是运用阿罗或普拉特的分析，还是运用本书第2章式（2-2）中的二次近似，都可以证明对本章式（9-1c）中效用函数的均值方差逼近，将选择有效边界上的一个投资组合。当a<0时，这个投资组合在有效前沿上的位置比对数效用函数选择的投资组合要低，而当a>0时，它在有效边界上的位置比对数效用函数选择的投资组合要高。萨缪尔森将式（9-1c）中的U（WT）写为

莫辛则使用另一个等价的公式。由于将效用函数乘以一个正的常数不改变投资组合选择，因此式（N1）意味着与式（9-1c）及其特殊情形式（9-1d）和式（9-1e）相同的选择。同样

也是如此。之所以文献中使用式（N1）或等价的式子，是因为式（9-1b）所隐含的选择是α→0时式（N1）的极限情形。正文中运用式（9-1c）避免了这一讨论。

分界点财富可通过多种方式确定，例如：

（1）询问投资者的目标水平。

（2）选择一个足以确保收入流是当前收入的一个给定百分比的目标财富。

（3）设为投资者以现金等价物持有财富时所拥有的退休财富水平。

第9章式（9-16）中的效用函数是一个分段的不变相对风险规避（CRRA）效用函数，它包含两段。一个人也可能拥有包含三个或更多CRRA段的类似效用函数，例如具有两个界点的函数，分界点取决于诸如GuidedSpending的CL和CU消费水平之类的信息。

5.设

则有

我们立即看出，当s=0和

时，。令式（N2）右侧的一阶导数为零，可以看出当

时，取得最大值。在这一点，两者的差等于

时取最大值。由于s和T不进入最终结果，因而最大差值仍与式（N5）中相同。

6.“Archaeology of Computers：Reminiscences，1945-1947，”Communications of the ACM，15（7）：694，July1972，special issue：“Twenty-Fifth Anniversary of the Association for Computing Machinery.”

第10章

1.伊安库和特里查基斯（Iancu and Trichakis，2014）的文章“多投资组合优化中的公平与效率”（Fairness and Efficiency in Multiportfolio Optimization）在本章写作基本完成（仅剩一些小的修改）之后才发表。伊安库和特里查基斯提醒我们注意悠久的“公平”文献。根据阿特金森（Atkinson，1970）的文章：

正如道尔顿……在他的开创性文章（Dalton，1920）中指出的，任何这样的（收入不平等）测量，都是基于社会福利的某个概念，只有这个概念是我们应该关心的。他指出，我们应该通过直接考虑将要采用的社会福利函数的形式来处理该问题。如果我们遵照他的建议，假设社会福利函数是个体收入的一个加性可分的（additively separable）且对称的函数，那么我们将根据

对分布排序。在本文中，我主要关注的是探究采取这一方法的含义，以及它与传统的不平等概括性测量的关系。

根据伯特西马斯、法里亚斯和特里查基斯（Bertsimas，Farias，and Trichakis，2012）的文章：“萨缪尔森（Samuelson，1947）给出了首个公式化表述，其中规划者的相关约束集是可行效用分配的集合……这一思想成为该领域的核心思想。”关于当前的实践，伯特西马斯等告诉我们：

幸运的是，我们可以用一种公理化的方法来处理对待不平等的态度。这种公理化的处理深深扎根于早期的基本原理。在过去的50年里，它使用最多的是如下的社会福利函数族。这个社会福利函数簇由衡量系统设计者对待不平等态度的单一系数参数化，其形式为

参数α≥0衡量对不平等的厌恶程度（在原文中为粗体）。

更一般地，在文章“网络资源分配公平性的公理论”（An Axiomatic Theory of Fairness in Networks Resources Allocation）中，Lan、Kao、蒋和萨巴瓦尔（Lan，Kao，Chiang，and Sabharwal，2010）告诉我们，当前的实践要么是运用前面描述的α公平性测量，要么是运用某种统计测量。其中，杰恩、赵和霍（Jain，Chiu，and Hawe，1984）提出的“杰恩指数”（Jain’s index）是最为常用的统计测量之一。杰恩测量是

其中，E表示算术平均值或期望值，它取决于所描绘的是一个给定的ui集，还是u的一个概率分布。由于

对于给定的E，使J取最大值的分布使V取最小值。在我们看来

是（不平等而非公平的）一个更为直观的测量。杰恩等人拒绝V（从而σ）的理由，是它不是有界的，或它与选择的量纲无关。这种拒绝理由看起来并不适用于他们文中的情形，因为效用经过了标准化位于［0，1］区间中。

最近的一个替代性方案出现于贾格巴苏拉和沙阿（Jagabathula and Shah，2011）的文章“通过选择数据包实现网络公平调度”（Fair Scheduling in Networks Through Packet Election）中，它与α公平性或杰恩测量截然不同。如在摘要中所总结的，他们：

通过与排序选举的问题类比：数据包相当于选民，待办事项相当于候选人，数据包基于优先顺序对待办事项进行排序，而描述了基于数据包的公平性概念。然后，我们利用古德曼和马科维茨（Goodman and Markowitz，1952）的研讨会论文，得到了一个实现所描述的公平性概念的调度算法。

第11章

1.道富集团（State Street Associates）旗下道富环球交易公司（State Street Global Exchange）投资组合和风险管理小组总裁、高级执行董事和注册金融分析师（CFA）威尔·金劳（Will Kinlaw）友好地提供了如下声明：

马克·克里兹曼刚刚提醒我，你正在寻求电子邮件回复，以确认在你书中提到道富集团使用过MvD方法是没有问题的。这绝对是没有问题的。我们隶属于道富环球交易公司的顾问业务代表几十个客户已经在广泛地运用MvD方法。特别地，我们将它用作投资组合调整最优解决方案中“次优”成本的一个近似。它是很好的近似。

2.贝尔曼（Bellman，1957）讨论了时间无关（time-independent）的动态情形，它与时间依赖（time-dependent）情形截然相反。在时间依赖情形中，直到结束的时间是一个状态变量。而在时间无关的情形中，它不是一个状态变量。例如，假设在每一个时点t，投资者都将他或她的财富在消费Ct和下一个时期的投资It之间进行划分，也即

下一个时期的财富取决于投资收益

假设在这个例子中收益Rt是独立同分布的。目标是最大化消费效用贴现

的期望值。在任何特定的时点t，到当时为止的得分是

总得分是两部分的和

由于到时点t，Ut已经是确定的，并且收益是独立同分布的，因此除了博弈效用函数中不重要的常数外，剩余博弈与初始博弈是相同的，从而最优决策与t和Ut无关。于是，该情形是“时间无关的”。

而在第9章分析的那些情形中，效用取决于退休时的财富Wt，投资组合的最优选择通常都与距离退休的时间长短有关，因而决策是时间依赖的。时间无关的情形有时也称为“递归的”，因为本质上相同的博弈可以重复地“再现”。

3.作为隐含的或明显的家庭预算中的一项，购买彩票在我们看来更可能被认为是一种娱乐形式而非投资。这表明了一种与弗里德曼和萨维奇（Friedman and Savage，1948）或马科维茨（1952）的文章中有根本区别的赌博观。我们先回顾后者，然后介绍我们的替代性方案。

弗里德曼和萨维奇（FS）假设家庭最大化财富效用函数的期望值EU（Wt），其中U有一个凸区域和两个凹区域。马科维茨证明了FS行为人的行为取决于他的财富W落入三个区间中的哪一个：对某个WL
（1）W≤WL

（2）W≥WH

（3）W∈（WL，WH）

马科维茨考虑财富水平处于WL和WH正中间，也即W=（WL+WH）/2的两个行为人，并证明不存在这样一个公平的赌局，每个行为人都偏好它甚于有5050的概率一个行为人财富水平上升为WH而另一个行为人财富水平下降至WL的赌局。因此，如果抛掷一次硬币，一个行为人将变富而另一个行为人变穷，那么相比保持现状，两个行为人都更愿意参加这个赌局。并且，一个接近富裕（财富略少于WH）的行为人不会通过保险以防其财富因损失下降至WL。相反，他最偏好的公平赌局是其财富上升至WH的概率很高而下降至WL的概率非常低的赌局。最后，FS的假设意味着穷人（财富水平低于WL）不会买彩票。

马科维茨（1952b）指出，FS假设的这些重要含义与一般经验相矛盾。他假设效用是财富变化量ΔW的函数，ΔW是相对“通常”财富水平的变化量。除了近期有意外收益或损失的情形外，“通常的”财富等于当前财富。ΔW=0（“没有变化”）位于效用曲线的一个拐点上，就像FS的文章中那样，在这个拐点的左侧是凹的曲线段，右侧是凸的曲线段。因此，马科维茨（1952b）文章中的行为人对收入下降是谨慎的（购买保险以避免损失），对收入上升则是风险偏好的（购买彩票）。然而，无论对收入下降保持谨慎还是对收入上升愿意冒险，在程度上都是有限的，因为马科维茨假设U（ΔW）是有上下界的。特别地，在收入上升时，行为人偏好确定性地获得一个较大的（改变生活的）收益，要甚于接受一个要么翻倍要么一无所有的提议。在收入下降时，如果行为人已经陷入无可救药的债务中，那么要么翻倍要么一无所有的提议就可能是最后一根稻草。于是，不需要采用FS可疑的含义，马科维茨（1952b）就能够解释为何赌博和保险会同时存在。

购买彩票可能是预算中一个娱乐项目的想法，为看待这个事情提供了一个新的视野。购买保险是为了避免大的损失。大额损失的影响会因为家庭可能需要变卖非流动性资产（在极端情形下例如房子）来对其进行弥补，而变得更加严重。在任何情形中，家庭都可能需要将支出调整至一个全新的水平。

购买彩票则不同。购买彩票的人完全知道这是一个零和博弈，国家还会在总收入中拿走一笔。但某个人将会赢得奖金，并且“如果你不参与，赢得奖金的那个人不会是你”。开奖的日期公布了，个人会思考或家庭会讨论如果赢得大奖将干点什么；开奖后，个人或家庭检查自己的彩票号码，或许发现中了小奖，然后必须走流程领奖，或者注意到距离中某个大奖仅咫尺之遥，然后考虑预算是允许他重新投入下周的买彩票中，还是在再次试手气之前等待一段时间。

我们没有探究与马科维茨（1952b）的假设相比，这一假设的哪些含义（如果有的话）是可以证实的。

第12章

1.2014年写作本章初稿时。

2.我非常感谢约翰·吉尔维（John Gilvey），他现在已经去世了，那时是中心中央科学服务部（Center’s Central Scientific Services）的负责人，是他给了我“真正”检验SIMSICRIPTⅡ第6层的实现的机会。

3.如果一个函数或子程序能够直接或间接地调用自己，就说这个函数或子程序是递归的（recursive）。SIMSICRIPTⅡ编译器是用SIMSICRIPTⅡ编写的，它用到了如下事实：当编译算术表达式时，它的子程序是递归的。编写代码以求出算术表达式值的子程序，通常会调用编译代码以求出变量值的程序。但如果变量有下标，它的一个或多个下标可能是算术表达式。在这种情形中，求表达式值的程序调用求变量值的程序，后者又调用求表达式值的程序，这个程序又可能再次调用求表达式值的程序，等等。因此，变量和表达式程序可以递归任意多次。

4.人们可以编写一个效率更高的修正的马科维茨规则（MMR）主元选择算法，以更好地利用SIMSCRIPTⅡ工具，但这需要做更多的解释说明。例如，人们可根据非零元素的个数，从最少循环到最多，利用未经处理的极小mi或nj来计算最小可能的剩余MMR得分，并在所建议的下一个主元的MR得分等于这一最小可能的下一个MR值时停止搜索，就可以整理未消去行和列的集合。使集合中的元素同时为行和列所有，也能简化高斯消元法的步骤。

5.我删去了兰德公司版本的SIMSCRIPTⅡ的第5层及其模拟功能，以免CACI公司因感觉受到威胁而起诉IBM。尽管诉讼不可能有什么结果，但我担心IBM高层会选择“简便方法”，放弃这一项目。

尽管我们命名的“EAS-E”（这里我称为IBM EAS-E）足以证明SIMSCRIPTⅡ第6层的可行性，但即使编写不利用模拟分析来预测状态的DSS，它也是不太理想的，因为按照规划，SIMSCRIPTⅡ允许数据库实体和实时事件利用（显然是需要的）第5层的工具如（内生）实时事件调度和系统性能积累。

6.SIMSCRIPTⅡLWL的首要任务是将输入的字符串拆分为令牌（tokens），也即

◆“字”，例如“A”或“Machine_Group”或“B47”；

◆整数或分数，例如12或12.345；

◆算术运算符，例如＋、－、*、/、**，这里两个星号表示幂；

◆另一个特殊字符，例如括号或逗号。

如在下一段中介绍的，同样的方法可以用于处理明显不同的符号系统，例如中文打字机的笔画，数学符号如、或语音音素。

将字符串拆分为令牌序列的SIMSCRIPTⅡLWL程序用到了一个表。这个表的行表示当前“正在工作”的可能令牌，如“整数”（如47）、“实数”（如47.8）、“字”（如CREA、so far）或“nothing”（在一个空格之后，或新的一行的开头）。表的列表示输入的字符串中下一个字符不同的可能类型（如字母、数字、空格或换行符等）。表的内容指定接下来将要“工作”的令牌。例如，如果一个整数（比如“3”）正在工作，而下一个字符是字母（例如“S”），那么下一个工作令牌的值是一个“字”（即“3S”）。哪个令牌刚在工作，以及接下来哪个令牌在工作，表明一个令牌是否完成并能够被移动到令牌流（token stream）中。

如马科维茨（1979）文章中所描述的，SIMSCRIPTⅡLWL的一个面向EAS、数据驱动的方面是将令牌转变成命令。这里我们必须再一次区分编译器数据和应用程序数据。编译器数据由描述SIMSCRIPTⅡ命令语法的模式组成。应用程序数据最初是一串字符，现在则是一个令牌流。针对特定语句（一个命令或是一个定义）的编译器模式将该语句视为拥有一个片段集（a set of parts），其中每个片段都拥有一个选项集（a set of alternatives）。一个选项可以指定：

◆一个文本字符串，如C R E A T E；

◆一个基元（primitive），如一个整数或一个“字”；

◆另一种模式，如“变量”模式。

这另一种模式又能够拥有多个片段，这些片段具有能够引用其他模式的选项，等等（这是一种EAS描述，类似于巴科斯诺尔范式描述。参见Knuth，1964）。STRUCT程序尝试将一种模式与到来的令牌流相匹配，并依次追溯该语句模式所引用的任何模式。如果成功了，STRUCT就将控制权返回给一个更高层级的程序，表明成功实现了结构化。接下来，编译器调用知道怎样处理特定命令如结构化CREATE语句的程序。更为复杂的命令，如COMPUTE，可以根据较基础的命令来编码。SCRIPT数据表描述了怎样将复杂命令脚本化为更加原始的命令。这一脚本化过程与OGM程序生产过程有很多共通的地方。关于SIMSCTIPT LWL进一步的细节，参见马科维茨（1979）的文章。

7.只要可能就应避免的实现，需要在每一个（内生或外生）事件执行之后和在调用程序处理下一个事件之前检查所有未完成的WHEN条件。在理想的情况下，人们希望仅检查那些因为状态发生改变而被激发的WHEN条件，如果这样的条件存在的话。在这一点上，SIMSCRIPTⅡ现有的监测功能可能是有帮助的。（实体THE SYSTEM或另一个实体的）任何属性都能被定义为左侧（或右侧）监测的变量［VARIABLE MONITORED ON THE LEFT（or RIGHT）］。在当前的讨论中，左侧监测的可能性才是有意义的。对于一个有待左侧监测的属性，SIMSCRIPTⅡ程序员提供了一个程序。这个程序接收将被存储在该属性中的值，采取编程时已经设定的任何行动，并且将某个值（也许是它接收的值，但并不必然如此）存储在用于存储所讨论之属性的空间中。SIMSCRIPT M编译程序可将WHEN语句中使用的任何属性定义为左侧监测变量。对这个变量而言必不可少的监测程序，能够创建一个具有哪个个体的什么属性已被改变的重要信息的说明，并将这个说明归入一个合适的集合中，以及用标记表明至少有一个相关状态已发生变化。在一个事件的发生结束之后和调用另一个事件之前，模拟程序的定时程序或DSS的控制器程序能够检查有关的事件是否已经发生，并相应地采取行动。

逻辑表达式能够包含语句“是空集”（或非空集）。在这一点上，SIMSCRIPTⅡ允许程序员指定在归档特定集合元素之前或删除特定集合元素之后调用的程序的工具，对集合状态的改变能够发挥与变量监测对属性状态改变所发挥的相同功能。

8.卡尼曼（Kahneman，2011）基于两个系统分析了人类的思维：系统1是第一响应器；懒散的系统2推翻或补充系统1的响应，如果它认为有必要的话。在这一点上，对这里介绍的认知模型和卡尼曼书中模型做些比较看来是必需的。

用两种替代性理论解释同一观察结果是可能的。一个例子是牛顿的万有引力理论与广义相对论。对于很多实践中的问题，这两个理论的含义难以区分。这一点对于卡尼曼的双重认知模型和这里介绍的多重认知模型同样是成立的。即便如此，仍然有必要简述一下我的模型是怎样包含卡尼曼所关注的现象的。

我将神经系统看作是一个任务/资源系统（TRS）。无数的任务同时被完成：一个（或几个）是有意识地完成的，绝大多数是无意识地完成的。这些任务包括监测感官输入，如一个人的视野、声音、气味、触觉（皮肤），以及身体内部状态如胃酸度。（除感觉监测之外）另一种类型的任务是记住近期的或更早以前的所有种类的“记忆”，例如可能并非即刻关注焦点的当前计划，过去的事件如你向妻子求婚的日期，以及类似系鞋带、背诵乘法表等技能。由于大脑没有静态存储器，这些“记忆”必须被主动地记住，并准备在相关的时候做出响应。

上述所有任务以及更多的任务都需要消耗心智资源。必须有某种（或某些）进程将资源分配给不同的任务。特别地，必须有一个进程决定当前的意识所关注的领域。例如，如果你正在驾车，并且一切顺利，那么多数时候可以让驾驶自动进行，而你的心思可以神游到一个当前计划上，比如因为一个特定目的打电话给某人，并考虑在什么时候和以怎样的方式做这件事。然后一种想法进入大脑中：“那是遥远的警笛声。”由于汽车驾驶多数时候仍是在自动进行，你当前的意识关注的是有关警笛距离和方位的问题，以及你是否需要靠边停车。

卡尼曼将有意识地执行的一些任务的完成归于系统1，而将其他的归于系统2。我假定识别出一种声音模式为警笛声是系统1的本领，而仔细考虑当天接下来的活动是系统2的任务。在我看来，估计一种声音的距离和方位的任务有时是系统1的任务，有时则是系统2的任务，这取决于答案“是显而易见的”，还是需要花思考时间（无论多少）来区分系统1和系统2的任务。卡尼曼指出：

任何时候在你有意识时，甚至也许在你无意识时，你脑海中都在进行着多种计算。这些计算支持和更新一些关键问题的现时答案：出现什么新的情况？是否存在威胁？事情进展顺利吗？我应该转移注意力吗？完成这一任务是否需要更多的努力？你可以想象一个驾驶舱。它具有一系列的刻度盘，这些刻度盘指示每一个重要变量的当前值。系统1自动地对各变量值进行评估，这些评估的目的之一是确定是否需要系统2的额外支持。（p.59）

我会补充一点，那就是无论你是有意识的还是无意识的，你的大脑都在进行“多种计算”，以帮助系统1完成延迟的或暂停的系统2类型的任务。

参考文献