注释
《风险-收益分析：理性投资的理论与实践》注释,页面无弹窗的全文阅读!
第1章
1.如果收益4优于收益2，那么获得收益4的概率q和获得收益1的概率（1-q）与获得确定收益2的效用恰好一样好，因此：
u2=qu4+（1-q）u1
即
最后，如果收益1优于收益5，那么获得收益2的概率r和获得收益5的概率（1-r）与获得确定收益1的效用恰好一样好，因此：
u1=ru2+（1-r）u5
即
因此，一旦确定了零效用和单位效用，根据个人的偏好即可以确定与其他收益相关的效用情况。
2.一般来讲，考虑韦伯定律时，我们会想到百科全书在线（芝加哥：大英百科全书，Inc.2012），网址：http://britannica/EBchecked/topic/638610/Webers-law；网上刊登日期为2012年6月13日。此外，Kontek运用韦伯定律进行估价。如果投资者将韦伯定律运用于期末财富的预测中，那么投资者的效用函数形式为伯努利（1954）［1738］的对数财富效用函数形式。因此在韦伯定律之前提出的伯努利效用，可以被视为韦伯定律运用于丰富投资者看法的一种方法。
3.一般来讲，马科维茨（1952）著作中的第10个脚注和马科维茨（2010）著作中阐述了如下观点，即与具有固定损失且价格单一的彩票（例如，公平的彩票的损失为0）相比，一个追求期望效用最大化的投资者绝不会偏好于另一种价格多元化的彩票。本章中提及的彩票C本质上属于一种价格多元化的彩票，其收益情况包括两种可能的收益结果和一种可能的损失结果，然而，彩票A和彩票B的收益情况都是只包括一种可能的收益和一种可能的损失。
第2章
1.一般来讲，如果收益率序列的概率分布服从椭圆联合分布，那么投资者的期望效用（EU）是该收益率序列的均值和方差的函数。具体见Chamberlain（1983）。
2.本章揭示了风险规避型投资者的决策行为，即在可能获得期望收益或低于期望收益的投资博弈中更加偏好于能够获得确定收益的投资组合；此外，投资者拥有凹的效用函数的期望价值的局部最大值通常等于整体的最大值，也就是说，如果某些参数值的集合，的期望效用（EU）的值比X1，X2，…，Xn的任何临近值的期望效用值更大，所以不存在能够一直提供较高期望效用（EU）的偏离的参数值的集合。这大大降低了最大化期望效用的计算时间。
3.在金融文献中，（1+R）有时被称作“收益”，其中R本身被称作“收益率”。同时，（1+R）有时还与财富相关，也就是说，期末财富价值Wt+1，经过标准化后，期初财富价值Wt等于1。只要在任一研究报告的上下文中（1+R）的运用具有一致性，那么以上关于（1+R）的不同用法都是等同的。本卷中，我们所提及的R既可以解释为收益，也可以解释为收益率，因为普通英语中既可以表达为“a 6 percent return”，也可以表达为“a 6 percent rate of return”，此外，我们将（1+R）称作“1+收益率”。
第3章
1.投资者在实现最大化实际增长率时，如果并且只要最大化名义增长率时，实际收益率（RR）满足：
其中，I表示通货膨胀率。因此，实际增长率gR满足：
其中，1+gI是分布（1+I）的几何平均值，因此：
因为式（N2）假设通货膨胀率I是连续变量或随机变量，因此，在后一种情况下，无论R和I是否相关，式（N3）都是成立的，即（1+实际增长率）=（1+名义增长率）/（1+通货膨胀率），这也体现了本章中证明部分的观点。
2.例如，log（1+R）正态分布的均值为μ，标准差为σ，Stuart和Ord（1994）表明：
即有
因此：
所以：
所以式（3-10e）成立。
3.Jean和Helms引用Latané（1959）著作中的观点，然而Latané（1959）著作中讨论的是两种收益的情况，而本章中的式（3-10f）并未对此做出相关说明，并且，在Latané和Tuttle（1967）的著作中，我们发现了不同的观点。
4.对于具有固定标准差σ的收益率序列而言，因为E→∞时，σ/（1+E）→0，所以渐进地，X0.93，并且按照不等式（3-17）的顺序逐渐降低。因此，为了证明本文观点的正确性，必须满足：
（具体见图3-2。）极限函数［式（N1）］当且仅当下述条件满足时成立：
但是上述极限函数的形式还可以表示为：
当且仅当满足下述条件时成立：
其中，g（x）不接近于0。极限函数［式（N4）］等同于如下两个极限条件，即
但是，式（3-15b）表明：
当V固定时，随着E→∞，Y→0；因此，Δ→0，并且证明了下文的相关观点。
5.马科维茨（1952a）著作中的评论可以很容易地用这种方法进行解释说明。
6.本章包含的表3-4中的一些数据和本卷第4章和第5章中报告的由DMS数据集直接计算得出的相关数据存在细微的差别。例如，本章表3-4中，澳大利亚收益率序列的算数平均值为9.0，而第4章和第5章中澳大利亚收益率序列的算数平均值为9.2；此外，本章中，表3-4报告的Swiss实际股票收益率是从1991年开始的，而第4章和第5章中报告的Swiss实际股票收益率是从1990年开始的。我们运用DMS数据集重新计算了表3-4、表3-5和表3-6中的数据，发现重新计算的数据和原始数据的差异是不重要的。例如，表3-4中的最后一行“最理想情况的次数”（或并列最理想情况的次数），QE逼近方法的最理想的次数或并列最理想的次数从7次增加到8次，而LMT逼近方法最理想的次数从2次降低到0次，关于逼近方法最理想情况的次数没有进一步的变化。因为当我们重新计算表中报告的数据时，我们向出版社承诺的本卷书的交稿日期即将来临，并且如果我们要改变表中报告的相关数据时，我们需要重新书写本文的一些细节，所以，我们决定按照Dimson等（2002）著作中原始的计算方法计算表中的相关数据。[1]
第4章
1.我们这里提到的半方差是近似于期望值E的半方差而不是近似于某一固定值b（例如b=0）的半方差，对于我们的研究而言，前者似乎比后者更合适，第3章基于该结果所报告的内容表明：二次项逼近均值E的结果比二次项逼近于0的结果更理想，并且，根据本文这条线索的进一步研究可以尝试从以上两方面出发，分别研究b的各种取值条件下的不同情况。
第5章
1.Anthony Tessitore是位于康涅狄格州格林尼治格拉梅西基金管理有限责任公司的总经理和投资组合经理；Ansel Tessitore是位于缅因州刘易斯顿市贝茨学院一名主修数学的学生；Nilufer Usmen是位于新泽西州蒙特克莱尔的蒙特克莱尔州立大学的一名金融学教授。
2.这部分内容在本章“复合假设”一节中进行具体阐述。
3.在参数个数（k）不同的几个模型中进行选择时，Akaike建议选择AIC（Akaike信息标准）最小时的模型，这里的AIC计算公式如下：
其中，指的是模型中参数矢量θ的极大似然值。Schwarz指出，在一定的假设条件下，样本S固定时，模型M的后验概率对数形式可以表示如下：
其中，当n→∞时，余数R仍然是有界的。Markowitz和Usmen指出了Akaike和Schwarz决策标准运用的困难性。Alparslan等建议运用贝叶斯因子的比率形式作为决策标准，即
其中，的符号为负号；相反地，对数似然函数的海赛函数在时的值的符号为正号。
4.下面的关系适用于两种情况，即①当y是根据一个随机产生的分布而产生的“生成分布”时；或者②y不属于“生成分布”，但是与该特定（生成）分布相关的概率是运用贝叶斯定理进行投资决策的投资者的主观概率。如前所述，例如，在一定的假设条件H下，我们将x的均值和方差分别表示为EH和VH，那么：
E（y）=E（EH）
前面公式中，等号右侧没有下标的E表示的是所有假设H的期望值（在随后的某些情况下，E指的是总体的期望值，也就是说，E表示一定假设条件下，所有假设的期望值。从本文中，我们可以清楚地明白E的含义）。在下文中，我们用表示E（y）。y的方差表示为：
V（y）=E（y-E）2=E（y-EH+EH-E）2
=E（y-EH）2+E（EH-E）2+2E（y-EH）（EH-E）
但是，第三种表示形式的右侧式子的值为0，因为对于每一个假设H而言，E（y-EH）等于0均成立；因此：
V（y）=E（y-EH）2+V（EH）
因此，对于运用贝叶斯定理进行投资决策的投资者而言，估计一个随机变量方差的最合适的方法不是运用其最可能的VH或VH的平均值，而是后者（VH的平均值）和EH的方差的和。同样地：
E（y-E）3=E（y-EH+EH-E）3
=E（y-EH）3+E（EH-E）3+3E（y-EH）（EH-E）2+3E（y-EH）2（EH-E）
在这种情况下，第三种表示形式的右侧，但并非第四项的值一定等于0。如果我们做出如下的简单假设，即一定假设条件H下，y的方差和（EH-E）不相关，那么y的三阶中心距等于三阶矩E（y-EH）3的（所有假设H）平均值与EH的三阶中心距的和。最后：
E（y-E）4=E（y-EH+EH-E）4
=E（y-EH）4+E（EH-E）4+4E（y-EH）（EH-E）3+4E（y-EH）3（EH-E）+6E（y-EH）2（EH-E）2
上述公式中，第三种表示形式的右侧，但并非第四项的值一定等于0。如果我们做出如下的简单假设，即定假设条件H下，y的二阶中心距和三阶中心距独立于（EH-E），那么：
E（y-E）4=E（y-EH）4+E（EH-E）4+6EVH·V（EH）
y的三阶矩M3和四阶矩M4是根据这些中心距的形式进行定义的。
5.Stuart和Ord，具体见其著作第2章第6节。
6.根据Nagahara（1999）的著作，皮尔逊Ⅳ型概率密度函数的参数可以通过以下公式进行计算，即
其中，u、t、b和d为实值参数，b>1/2，t>0，并且C是一个标准化的常数。皮尔逊Ⅳ型概率密度分布是一种非对称的学生t分布（当d=0时，皮尔逊Ⅳ型概率密度分布为学生t概率密度分布）。这里的标准化常数C可以通过下式进行计算，即
其中，Γ（x）和B（x）分别指的是复合伽玛函数和复合贝塔函数。为了计算标准化的常数C，像Heinrich（2004）和Nagahara（1999）在著作中引用Abr amowitz和Stegun（1965）著作的观点一样，我们选择使用Abr amowitz和Stegun（1965）著作中的计算公式进行计算，相关公式如下：
在本研究中，我们考虑的参数b和参数d的所有取值的集合迅速收敛。在计算过程中，我们以百万为基数，但是在收益的精确度超过10万时可以忽略不计（10-9）。
假设收益（率）的观测值服从独立的同一分布，那么，当收益（率）具有T个观测值时x1，x2，…，xT，其对数似然函数可以定义为：
这些方程构成了本项研究中考虑相关模型的基础。通过最大化既定的对数似然函数，我们可以得到参数u、t、b和d的值，并可以运用抽样程序（在后面具体阐述）在用数字表示的参数区间范围内进行调查研究，我们发现，在历史收益率序列x1，x2，…，xT既定的条件下，我们可以计算和这些矩相关的样本矩和参数值，并且这些矩可以通过如下公式转换为相关的参数，即
其中，μ1、μ2、和β2分别表示收益率序列的均值、方差、偏度和峰度。这些公式来源于Heinrich（2004）和Nagahara（1999）著作的相关内容。参数的矩形式和这些参数的约束条件之间的负相关关系可分别定义如下：
这种估计参数的方法需要对数似然函数实现最大化，并且要以数值的形式进行计算，此外，最理想的计算程序是指：首先，从参数区间范围内随机抽取样本；然后根据所抽取样本中包含的每一个样本值分别计算出对数似然函数的最大值。因为似然函数可能不是凹函数，并且函数值的梯度变化可能在局部最大值的范围内停止改变，所以，上述计算参数估计方法经常的使用具有普遍性。在上述过程中，首先，我们根据参数区间构建了一个“矩形区域”，该“矩形区域”的每一个维度上，50%位于样本参数值之上，而另外50%则位于样本参数值之下；其次，根据“矩形区域”（以下简称“50%的盒子”）的每一随机选择点计算对数似然函数值，尤其是该“矩形”所包含的随机选择点100000。从该初始研究中，选择参数的最大值，并且在参数最大化的中心范围内构建第二个“40%的盒子”，在“40%的盒子”范围内，再一次使用随机选择点100000计算对数似然函数的最大值；最后，在后者的参数最大化周围构建“30%的盒子”区域。该过程一直持续至现有研究中最佳点的中心区域的5%范围为止，一直继续该过程至该阶段，对数似然函数值的增量是可以忽略不计的。在该项研究的最后部分，报告了对数似然函数的最大值、参数值和矩。
为了使得我们研究的结果更理想，在找到最佳答案的前提下，我们试图运用梯度抽样的方法对上述研究进行改进。与我们先前研究中得出的结果LLH=91.5650相比，运用梯度抽样的方法最大的优势为其计算出的LLH结果为LLH＝91.5656，比先前研究中LLH的结果更大。因此，我们拒绝使用梯度抽样方法计算出的结果，并且研究报告中只报告了抽样程序的结果。
7.正如本章中“简介”一节中所阐述的那样，这里所报告的内容已经超出了本卷书的研究范围，使得运用贝叶斯定理进行投资决策的投资者的行为以及Markowitz和Usmen运用标准普尔500指数的日收益率变动或我们运用（19个国家中的每一个国家）整体收益率（如前面脚注所述）进行的投资者决策行为分析具有可比性。因此，我们在这里对整体分布和样本分布的标准化假设进行了比较，即投资者在20世纪对特定国家的股票市场进行投资的经验分布。
[1] 原书中未标注注释6的位置。我们认为这是作者对其使用不同数据进行计算所得出的结果的比较和说明，以及作者具体计算时选择所需数据的原因。——译者注