各国收益率分布的改变
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如前所述，大多数的（1+R）样本收益率分布为右偏分布，而大多数的log（1+R）样本收益率分布为左偏分布，并且样本总体的极大似然分布假设y=（1+R）1/2服从某种皮尔逊分布，这意味着我们需要计算y=（1+R）α（其中α为任意值）条件下的19个国家样本收益率分布的M3的值和M4的值。通过计算，我们发现，当α=0.2时，大多数收益率分布为左偏分布；当α=0.3时，大多数分布为右偏分布；而当α=0.25时，服从左偏分布的收益率分布和服从右偏分布的收益率分布是比较均匀的：收益率分布服从左偏分布的有9种，服从右偏分布的有10种。
表5-8列示了19个国家的样本和样本总体收益率分布的算数平均值、标准差、M3、M4以及y=（1+R）0.25的样本分布类型，图5-5描绘了这些收益率分布的M3、M4以及样本分布类型的相关信息。如图5-5所示，转换变量y=（1+R）0.25不仅能够使样本中的收益率分布的M3>0的国家和收益率分布的M3<0的国家尽可能地均匀分布，而且与样本y=（1+R）和样本y=log（1+R）相比，该转换变量降低了收益率分布的M3的极值。尤其是，在样本y=（1+R）中，收益率分布M3的值分布情况为：2.58（挪威）、1.98（丹麦）和1.51（德国），并且还包括两种M3<0的情况；而在样本y=log（1+R）中，收益率分布M3的值的分布情况为：-2.96（德国）和-2.29（日本），当然也包括M3的值为正数的情况。但是，对于样本y=（1+R）0.25而言，M3为负数并且值比较低的情况有：-1.34（日本）和-1.26（德国），以及M3为正数并且值最高的情况有：1.11（丹麦）和0.95（丹麦）。所以，样本y=（1+R）的收益率分布的M3的范围（最大值-最小值）是2.82，样本y=log（1+R）的收益率分布的M3的范围是3.81，而与两者相比，样本y=（1+R）0.25的收益率分布的M3的范围是1.45。此外，总体收益率分布y=（1+R）的M3的值等于1.09，总体收益率分布y=log（1+R）的M3的值等于-1.20，而与两者相比，总体收益率分布y=（1+R）0.25的M3的值等于-0.37，即该M3的值更加接近于0。
表5-8 样本矩和X＝（1+r）0.25条件下的皮尔逊分布类型
图5-5 样本（1+R）0.25和皮尔逊分布边界
观测值7
在均值-方差有效的投资组合的可能收益或可能损失的非技术性讨论中，我们经常假设投资组合的收益率分布服从正态分布。本章的作者惊讶地发现，澳大利亚、加拿大和美国股票市场的20世纪的实际收益率服从近似的正态分布，但是如图5-1所示，样本中其他国家股票市场的20世纪的实际收益率并不一定服从正态分布，因为与澳大利亚、加拿大和美国股票市场的收益率分布相比，这些收益率分布具有更高的M3和M4。如我们所见，在标准概率水平下，前者（即收益率分布服从正态分布或近似正态分布）比后者（即收益率分布不服从正态分布或近似正态分布）在转换收益率分布为右偏分布方面更具优势。例如，表5-5显示：与正态分布在1%和2.5%标准概率水平下的Z分数分别为2.33和1.96相比，（M3，M4）＝（1，5）的皮尔逊分布在1%和2.5%的标准概率水平下的Z分数分别为1.72和1.53。
在运用期权定价模型和其他新的计量方法进行评价过程中，如布莱克-斯科尔斯期权定价模型，通常假设收益率分布服从对数正态分布。Markowitz和Usmen认为，对于每日波动的标准普尔500指数而言，运用贝叶斯定理进行投资决策的人更倾向于较大程度的先验概率的变化，这也将使得收益率分布log（1+R）服从自由度在4~5的学生式t分布的假设。然而，人们更愿意期望投资组合实际的收益率分布服从近似的对数正态分布。如果日收益率服从独立同分布（日收益率不服从独立同分布，但是如果其服从独立同分布的话），运用中心极限定理计算的样本的平均收益率将是对数收益率而非平均收益率，这表明样本log（1+R）的年收益率可能服从近似的正态分布。如图5-2所示，实际上，许多国家实际的年收益率分布的log（1+R）样本的（M3，M4）近似于（0，3），这个结果与本卷第3章的结论相一致，即在运用DMS数据集对收益率分布的几何平均值进行逼近时，6种逼近方法的估计结果最理想的是以“收益率分布服从对数正态分布”为假设的逼近方法。但是，其中也包含许多例外情况，具体包括：第7个国家（德国）和第10个国家（日本），这两个国家的收益率分布的log（1+R）样本的M4远大于3，并且其M3的值为负数；在较小的程度上，还包括第9个国家（意大利）、第12个国家（新西兰）和第18个国家（英国）。尤其是，因为负偏度以及一定程度的尖峰度的存在，导致概率处于整个分布左侧的概率增大，因此，对于这些国家而言，收益率分布服从对数正态分布的假设是非常有利的。
我们将（1+R）和log（1+R）定义为某一样本空间内的随机变量，处于这两者之间的一类随机变量的形式是y=（1+R）α，α∈（0，1）。在这一点上，我们发现，在所有相关的假设中，关于样本总体的极大似然分布假设是转换变量（1+R）1/2服从皮尔逊Ⅳ型分布，并且单个国家样本收益率分布的转换变量（1+R）1/4使得具有正的M3的收益率分布和具有负的M3的收益率分布尽可能地均匀分布。
我们似乎很难相信，在接下来的100年里，德国和日本的股票市场将继续经受类似于第二次世界大战结束后的损失。当然，一个世纪的时间很漫长，就像20世纪一样，在一个世纪的时间里，世界可能会发生很大的改变。一些国家的股票市场很可能会遭受非常大的实际损失，但是，我们并没有特定的理由相信这样的事件会再次发生在德国或者日本这两个国家。这表明，关于假设，我们需要继续去探索，即在任何很长的一段岁月里（例如一个世纪），一个或多个国家的股票市场会出现样本收益率分布不合理地服从对数正态分布的情况，但是这种情况并不是每一次都发生在相同的国家。
建议
本卷中，我们讨论的焦点是：对于各种风险规避型的投资者而言，如果投资者能够从投资组合的有效边界中选择对其或其需求非常有利的投资组合进行投资，那么该投资者便实现了期望效用近似最大化的目的。这种陈述方法避开了“投资者如何选择正确的投资组合”这一问题，常用的一种方法是向投资者说明其选择的投资组合的收益率向下波动的各种可能性以及该投资组合的期望收益率情况；另外一种方法是运用蒙特卡罗模拟方法估计影响投资者进行长期投资决策的因素，例如储蓄率、退休年龄和投资组合，但运用这两种方法的前提是投资组合的收益率分布是已知的。
理想情况下，能够计算投资组合有效边界的组织应该估计该投资组合收益率分布的类型，其估计投资组合收益率分布类型的大致过程如下。
（1）从投资组合有效边界中选择具有代表性的投资组合；
（2）针对每一个具有代表性的投资组合，分别计算一个与之相对应的收益率序列（例如，从该投资组合的组成部分中选择一个收益率序列），并作为从该投资组合收益率分布中选择的样本；
（3）对相应的收益率序列进行分析（例如，就像本章我们对样本总体的分析一样），发现能够产生该样本的极大似然分布或近似极大似然分布。
从步骤（3）中识别的各种分布中，选择一种作为该投资组合的收益率分布。
我们并没有说理论比实践更加容易。在这个抽象层次上，计算投资组合的有效边界的步骤更加明晰，即估计；选择约束条件；计算有效边界。那些通过上述方式构建投资组合有效边界的学者知道，运用这种方式计算投资组合有效边界的过程中充满了无数的子任务，在实务中也面临着各种挑战，这些挑战包括：研究样本中应该包括哪些证券或资产组合；应该运用哪些历史收益率序列进行初始估计；对于研究样本中的收益率序列应该运用哪种统计分析程序进行具体分析；前瞻性估计应该进行怎样的调整，才能使其反映出“目前的形势”（例如本书提到的低利率环境）；如果可以的话，应该运用哪一协方差因子模型；除投资组合的均值和方差约束外，如何建构目标约束条件（例如，流动性约束和交易量约束）等，其中的一些子任务能够作为收益率分布形式的估计程序的一部分，如收益率序列均值和协方差的估计方法的发展以及协方差因子模型在决策中的运用等。当然，收益率分布形式的估计并不是一个简单的问题，这种方案在没有经验证据支持的情况下，是不能够为投资者提供关于收益率分布的相关信息的。