多期博弈的效用

《风险-收益分析：理性投资的理论与实践（第2卷）》多期博弈的效用,页面无弹窗的全文阅读!

本书第1卷第1章将单期情形的期望效用准则定义为就像人们对一个概率情形的每一个可能结果赋值（称为该结果的效用），然后在结果的各种概率分布中进行选择以极大化效用期望值那样。多期风险情形的期望效用准则的定义是一样的，除了参与人I的效用UI可能依赖于博弈的整个轨迹，即博弈历经的状态系列s1，s2，…，sT外。也即

轨迹的状态s1，s2，…，sT可以被认为是由一个同步或异步离散事件模拟程序的一次运行所生成的状态描述（当然，可以用实体、属性和集合来描述）。

马科维茨（1959）著作的第11章指出，该书第10章（以及第1卷第1章）含意着单期情形期望效用准则合意性的3个公理，同样适用于轨迹的概率分布。这样一个论断实际上是不需要的，因为标准型中的vNM策略概念，将任何多期博弈都转化为一个单期的博弈。不管那种方式，我们都能得出结论，含意着从结果概率分布中进行选择以极大化EU的一组公理，如本书第1章所定义的，同样适用于在轨迹概率分布中进行选择。

特别地，与第1卷中相同，一个结果是RDM寻求其好的概率分布的事物。或者反过来说，任何特定效用分析（这里与第1章中相同）的基本假设，是相应情形已得到分析，以便它是RDM所寻求的结果的好的概率分布。

在下一节对动态规划的讨论中，我们假设状态st（t=1，…，T）包含了计算博弈第I个参与人效用UI的充分信息。通常，博弈轨迹的一个小的子集，就足以计算每一个参与人的效用。例如，第9章介绍的莫辛（Mossin，1968）和萨缪尔森（Samuelson，1969）分析的单人多期投资模型中，博弈的效用仅仅是最终财富的函数。在这个例子中，在模拟博弈的每一个时点，只需要记住参与人的当前财富。更一般地，单人多期消费投资博弈参与人的效用，通常被假定为一个消费支出系列加上作为遗产的最终财富的函数

（在单人博弈的分析中我们省略参与人I的上标。）通常假定效用函数是贴现后的现值

其中，d为贴现因子；u（Ct）为时期t消费水平Ct的效用；v（WT）为遗产WT的效用。在这种情况下，为了计算最终效用，一个人只需要记住部分和

式（8-2）是效用函数的简便形式，而并非效用函数的必然形式，并且式（8-2）通常是不现实的。例如，马科维茨（1959）著作的第13章提出了一个可能的效用函数（T=3）

如果C总是随着时间上升，那么式（8-3）中的U是消费的对数的贴现值。但如果Ct小于Ct-1，那么U反映了相对于使消费保持恒定或上升，减少消费带来的不适。

GuidedChoice（GC）公司运用了一个多少有点类似的效用函数，作为其GuidedSpending产品的一部分。回想一下第7章中，GuidedSpending可能在退休之前开始启动，并一直持续到退休期间。GuidedSpending要求参与人提供两种消费水平，CU>CL。这两种消费水平被用于蒙特卡罗模拟，以估计任意给定的消费投资策略可能结果的概率分布。在模拟时间的任意时点，一个试探性的当前消费C，由考虑了参与人可能比预期活得更久的保险精算确定。如果C超过了CU，则将两者的差C-CU储蓄起来。如果C小于CL，则将CL-C花掉，如果可以的话。如果参与人既拒绝提供CU也拒绝提供CL，或拒绝提供目标遗产水平B，那么缺省值将被作为参与人可能的退休财富的函数计算得到。

为计算一个特定消费和遗产轨迹的效用U，GuidedSpending将平均消费水平A和消费的最大年下降额D相结合，形成一个得分S

这里的想法与式（8-3）背后的想法是类似的：消费的下降令人不快，即便较低的消费水平仍然被认为是足够的。然后GuidedSpending计算一个“标准得分”NS，使得如果A=CU，D=0，那么U=1；如果A=CL，D=0，那么U=0。分配给消费流的效用U是NS的一个函数

其中，f是一条平滑的曲线，U=1是它的渐近上界，并且U以递增的速率下降，特别是当NS降到0以下时。再加上一个反映WT和B的项，就可得到最终得分。

对于一个类似于GC公司GuidedSpending产品使用的取决于A、D和WT的效用函数，保留以下几项就足够了：

（1）当前财富WT；

（3）到目前为止最大的（按绝对值计算）消费下降额；

（4）当前的消费水平Ct，如果Ct+1
总之，对于类似于式（8-1b）的效用函数，保留当前财富Wt和到目前为止的消费水平C1，…，Ct即足够。

在接下来的内容，我们假设终点时的系统状态sT包含了足够的信息来计算每一个博弈参与人的效用。因此，不失一般性，我们假设

要强调的是，这并没有假设效用仅为最终财富的函数，如在莫辛萨缪尔森博弈中那样，相反它可以是博弈轨迹的任意函数。

动态规划

在有时限博弈的情形中，动态规划（dynamic programming，DP）方法从最后一个时期t=T开始，然后倒推到第一期t=12。这样做就将T期的展开型博弈简化为一系列的单期博弈。如我们在本章后面讨论的，DP逆推式（last-to-first）的计算方法，在作为计算程序时用途有限，因为通常只有最简单的博弈能够用这种方法显式求解。然而，它在概念上极为重要。特别是，它表明了第1卷讨论的单期分析与本卷论述的多期分析之间的关系。

对于完全信息的确定性博弈，可用井字棋游戏（the game of tic-tac-toe）来说明DP的基本思想。在本章后面的内容中，我们将放弃这些假设。