第9章　莫辛萨缪尔森模型

《风险-收益分析：理性投资的理论与实践（第2卷）》第9章　莫辛萨缪尔森模型,页面无弹窗的全文阅读!

引言

莫辛萨缪尔森（Mossin，1968；Samuelson，1969）模型是一个典型的动态投资模型，它在金融理论和实践历史上具有重要的影响。它的影响源于其清晰然而却与直觉相悖的结论：随着退休的临近，投资者不应该变得更加谨慎。

莫辛将其基本结论扩展到一些特殊情形，这些特殊情形涉及一种零利率或非零固定利率的无风险资产。哈肯森（Hakansson，1971）指出莫辛的部分结论存在问题，并做了一些推广。这里我们不打算详细阐述这些情形。我们的兴趣在于莫辛萨缪尔森模型的基本结论及其应用。更一般地，我们仅考虑程式化金融模型海量文献中的一小部分，因为我们自己所用的方法与这些文献迥然不同。近期文献的一个综述，参见坎贝尔和维塞拉（Campbell and Viceira，2002）的著作；早期对这些模型的广泛探讨，参见哈肯森（Hakansson，1971）的文章。基于坎贝尔和维塞拉的著作，哈肯森的结论看起来已经被遗忘了，或许已经被罗伯特·默顿（R.Merton）及其追随者的连续时间模型挤出了理论舞台（Merton，1990）。

本章处理以下三个相关的主题：

（1）莫辛萨缪尔森模型及其求解；

（2）萨缪尔森和马科维茨围绕长期投资的持续论争；

（3）“滑行路径”或“目标日期”投资策略。

莫辛——萨缪尔森（MS）模型及其求解

与莫辛和萨缪尔森的文章中一样，我们假设投资者的初始财富为W0。在时期1，2，…，T的期初，投资者在时点t=0，1，2，…，T-1选择收益Rt的一个概率分布。假设投资者可以在任何时点无成本地改变其投资组合。我们暂不规定相继的Rt是否相互独立。除非另有说明，关于Rt的唯一假设是它独立于任何之前的投资组合选择。

莫辛萨缪尔森（MS）博弈的效用仅取决于最终财富

虽然莫辛和萨缪尔森没有明确，但如果假设WT是真实财富而非名义财富，他们的结论同样是成立的。我们这里假设WT是真实财富。特别地，GuidedChoice公司使用的效用函数（在本章后面讨论）是真实财富的函数。

首先假设

然后假设

其中

特别地

其中α=|a|［注释4讨论了替代式（9-1c）的等价公式和相关问题］。当a=1时，式（9-1d）是线性的；当a<1时，式（9-1d）是严格凹的。

如果式（9-1d）是投资者的目标，那么在时点t=T-1，博弈的期望效用取决于最后一期的收益RT

式（9-2）最后一行的第一项在t=T-1时已经是确定的，因而式（9-2）意味着，在t=T-1时，使Elog（1+R）取最大值的Rt的分布，也使EU取得最大值。从而如果投资者选择一个最优的最后行动，那么整个博弈的期望效用值为

其中mT是Elog（1+RT）的最大值，或者简写为MEL。它是在给定状态sT-1下最大的条件Elog（1+RT）。如果R1，R2，…，RT是由一个任意的随机过程生成的，那么mT和WT-1将随着从这一过程中抽样的不同而变化。我们假设使mT取最大值的选择总是存在的。1

接下来，假定投资者在t=T－1时将采取最优行动，考虑t=T－2时的可行选择。对任意的财富水平WT－2，博弈的期望效用是

我们写成EmT而非mT，因为mT是依赖于截至目前从收益生成过程中抽取的特定轨迹的条件期望值。t=T-2时，log（WT-2）已经确定。EmT也确定了，但这一点相对不那么显而易见。mT的值并不一定独立于mT－1，但我们假设它独立于时点T－1的投资组合选择。因此，给定状态sT－2，mT的期望值在时点T－2时是确定的。由此得出结论，MEL是RT－1分布的最优选择，就像它是RT分布的最优选择一样。如果我们对t=T－3重复这一过程，就会发现给定状态sT－3，EU为

其中期望值为在状态sT-3下的条件期望值，MEL再一次是最优选择。将这一过程重复T次，我们发现博弈的最优值为

在每一个时点t，从可行的单期收益分布中选择一个MEL投资组合，就可以实现这个最优值。特别地，无论Rt是否自相关，这一点都是成立的，因为在获得该结果的过程中我们并没有排除自相关的可能。式（9-5b）中的期望值是无条件期望值（或等价地，是博弈初始状态下的条件期望值）。

因此，我们得出结论，在如下意义上，即T期博弈中在时点t选择Rt的分布所用的决策规则与单期博弈中选择R1的分布所用的规则相同，对数效用函数是短视的。即使收益是自相关的，这一结论依然成立。

接下来考虑一个式（9-1e）形式的效用函数。由于基本一样的论证也适用于式（9-1d）形式的效用函数，并且具有相同的一般性结论，因而下面的论证适用于所有式（9-1c）形式的效用函数。在时点T-1，MS博弈的期望效用为

因此，通过选择具有

或等价地

的分布，就使博弈的期望值极大化。在式（9-6）的步骤中，我们运用了t=T-1时WT－1已经确定的事实。在时点T－2，有

如果RT-1和RT是相互独立的，那么

它的最大值为

其中，mT－1和mT由具有

的投资组合给出。一般而言，如果仍然假设收益是相互独立的，则期望效用的最大值为

其中，mt是E（1+Rt）-α的最小值。如果收益是独立同分布的，那么每一期都选择相同的投资组合。

由于乘积的期望值通常不等于期望值的乘积，因此式（9-8）中的结果取决于独立性假设（独立性是一个简单的充分条件，更一般的充分必要条件较为复杂）。对于对数效用函数，则不需要独立性假设。

总之，“在适当的假设条件下”，如果一个投资博弈的效用仅取决于最终财富，并且效用函数U=U（WT）由式（9-1b）或式（9-1c）给出，那么投资者的行动就是短视的。他在24岁时选择的投资组合与64岁时所选择的一样。

第9章 莫辛萨缪尔森模型

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