马科维茨与萨缪尔森之争：背景

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多年来，萨缪尔森和马科维茨就“长期投资”的投资者是否应该在每一个时期选择MEL进行了持久的争论。马科维茨认为应该，而萨缪尔森则认为不应该。围绕这一主题，双方撰写的作品包括萨缪尔森（1969，1979）的文章和马科维茨（1959，1976，2006）的著作及文章。我们对这个题目的讨论必然要最好地反映马科维茨的观点。不幸的是，“人终有一死”，萨缪尔森再也不能参与讨论了。这里只能以他发表过的作品来代表他的观点。

MEL准则是由凯利（Kelly，1956）提出的，并为拉塔内（Latané，1957，1959）所接受和发扬。马科维茨（1959）著作第6章的观点是，谨慎的投资者不应该选择如下的均值方差有效投资组合：它的算术平均值（从而方差）大于近似最大化期望对数效用的均值方差有效组合的相应值。有效边界上均值较高的投资组合，使投资者在短期面临更大的波动性而在长期又没有更高的收益。然而，谨慎的投资者可能选择有效边界上较低的均值方差组合，放弃长期的收益，以换取短期更稳定的收益。2

布赖曼（Breiman，1961）提出了“强大数定律”的观点。我们在下面运用这一观点来支持MEL规则。萨缪尔森（1969，1979）提出了否定MEL的期望效用观点。马科维茨（1976）则给出了一个替代性的支持MEL的期望效用观点。

当收益是独立同分布的，并且投资者必须总是将投资组合调整至（他所选择的）同一投资组合时，凯利、拉塔内、布赖曼和本书作者关于MEL的观点，就已经与萨缪尔森有关MEL的观点出现分歧。这里我们仅对这一特殊情形进行分析。更一般的分析，参见马科维茨（1976）的文章。

支持MEL的观点

如果投资者从一个收益分布中重复抽样[1]，并且在初始财富W0之外不增加或者提取资金，那么在时期T，投资者的财富为

其中，Rt表示时期t从投资组合中实际获得的样本收益率。整个收益轨迹的样本增长率g满足

这里g是收益率，如果每一个时期都获得这个收益率，那么经过T期财富将从W0增长至WT。对式（9-10）两边取对数，可以看出时期T的财富是

的严格递增函数。

除非另有说明，我们假设R>－1，从而式（9-11）中log（1+g）的值总是有限的。假设Elog（1+g）也是有限的。式（9-11）意味着如下非正式表述的却至关重要的事实：

定理：如果马科维茨重复投资于一个投资组合，它的Elog（1+g）以概率1比保罗投资的投资组合的相应值要大，那么在某个时间（T0），马科维茨的财富会超过萨缪尔森，并且自此之后永远如此。

式（9-11）表明，1加上样本增长率的对数，等于log（1+R）的样本均值。强大数定律表明独立同分布的随机变量的样本均值以概率1趋近于它的期望值。特别地，对数的均值趋近于对数的期望值m。用符号表示，为

由于已经假设Rt是独立同分布的，因而确保式（9-12）成立唯一需要的其他假设是m是有限的（Cramér，1946）。回忆一下微积分中极限的概念，式（9-12）告诉我们，对每一个正数ε，存在一个时间Tε，使得对所有大于Tε的时间T，m与log（1+R）的样本均值的差以概率1小于ε。

反对MEL的观点

再一次，考虑一个投资者，他在时点0投资W0，并且不增加或减少投资。现在选取某个固定和遥远的时期T。在时期T，投资者或它的继承人将“以现金收回”投资。投资者必须确定目标投资组合，投资的受托人将朝着这个目标反复对投资组合进行调整。我们继续假设相继的收益是独立同分布的。

假设投资者的效用函数是式（9-1d），他力图使自己的期望效用最大化。由于收益是独立同分布的，期望效用等于

于是，使期望效用最大化的投资组合，就是具有最大的单期E（1+R）a的投资组合。而这个投资组合，通常并非MEL投资组合。

因此，不管终点距离现在多么遥远，MEL都不是以式（9-1d）为效用函数的博弈的最优策略。当效用函数为式（9-1e）时，类似的观点也是成立的。

萨缪尔森据此得出结论认为，最大化任意MS短视的效用函数，都应被视为长期投资。

例子

下面的例子说明，萨缪尔森和马科维茨用于支持各自观点的数学事实，怎样能够都成立。考虑两个投资组合P和Q。P每年提供6%的确定的收益，而Q每年以50-50的概率提供200%的收益或100%的损失。此处我们允许R=-1.0，因而会涉及log（0）=-∞的计算。在这种情况下，显然广义实数（extended real number）运算是必不可少的（见Halmos，1974，p.1）。P的期望收益和期望log（1+R）分别为0.06和loge（1.06）=0.058，Q的期望收益和期望log（1+R）分别为0.5×2.00+0.5×（-1.00）=0.50和0.5log（3.00）+0.5log（0.0）=-∞。遵循MEL规则的投资者会偏好P。而对任意固定的投资期限T，最大化式（9-1c）形式的效用函数（a=1）期望值的投资者，也即最大化最终财富期望值的投资者，却会偏好Q。

将Q的收益想象成由投掷一枚均匀的硬币来确定，硬币的正面表示获得收益。如果重复投掷硬币，那么最终出现背面的概率将为1。从那时起，0=。于是，在这个特例中，与一般情形相同，MEL投资组合超过（并持续领先于）另一个策略的时间将以1的概率出现。

然而，选取某个固定的时间点，例如T=100。在那个时候，P确定性地给出（1.06）T。而如果在100次投掷中出现了硬币背面，那么Q什么也不会提供；如果没有出现背面，那么。因此，最终财富的期望值为

于是，在这个例子中，再一次与一般情形相同，在T=1时使EU最大化的投资组合，对预先固定的任意大的T，仍使EU最大化，即便几乎必然会出现一个时间T0，对所有的T>T0，。

支持MEL的另一种观点

马科维茨（1976）认为，某事物“在长期中是最好的”这个断言，应该是一个渐近的表述：随着T→∞，某个策略趋近于最优。萨缪尔森反对MEL的观点是通过一个固定时长的博弈来展示的。由于这个固定的时长是任意的，因而萨缪尔森的观点可以转变为如下的渐近观点。想象一个博弈系列G1，G2，G3，…，G100，…。第一个博弈是一个单期博弈，也即它的T=1。第二个博弈G2“就像”第一个博弈一样，除了它的时长为2期（T=2）外。第三个博弈G3就像前两个博弈一样，除了它的时长为3期（T=3）外，等等。萨缪尔森反对MEL的观点是，当效用函数U（WT）如式（9-1c）和式（9-1d）那样是一个幂函数时，MEL给出的EU（WT）并不趋近于使EU（WT）取最大值的投资组合所给出的期望效用。

一般而言，除时长更长外博弈GT+1“就像”博弈GT，这一概念假设：

（1）在每个博弈中，收益都是同一随机过程生成的；

（2）在每个博弈GTi中，投资者都面临相同种类的约束条件；

（3）用于评价博弈的方法是相同的。

事实上，萨缪尔森的分析体现最后一个要求——系列中的每个博弈都按照相同的方法进行评价——的方式，是用最终财富的同一函数来评价两个博弈。也可以用样本增长率g的同一函数的期望值来评价相继的博弈。在上一节的例子中，P一直提供0.06的增长率。Q提供的收益率为

如果H1，H2，…，H100，…就像莫辛萨缪尔森博弈一样，除了前者每个博弈是用g的同一函数V=f（g）的期望值进行评价外，那么在上面的例子中

因此，如果这些博弈都是用同一f（g）评价，那么随着T增加，有

马科维茨（1976）证明，如果用增长率g的同一连续、递增函数来评价一个与莫辛-萨缪尔森博弈类似的博弈，那么MEL通常都是渐近最优的。

假设一个人希望比较两个投资策略在不同投资期限，例如10年或100年中的表现。我们应该怎样确定延长投资期限是否对一个策略比对另一个更有利？对于所有有趣的情形，不管投资期限多长，总是存在一个策略或另一个策略表现较好的可能。问题是怎样在这些不同可能性的概率分布中进行选择。一种方法，即最终财富不变效用法，假设投资期限为100年时使1美元增加到3美元与使1美元增加到6美元或9美元之间的权衡，同投资期限为10年时的相应权衡是相同的。而增长率不变效用法假设投资期限为100年时实现3%的增长率与实现6%或9%的增长率之间的权衡，同投资期限为10年时的相应权衡是相同的。对于一个固定的T，最终财富的任何效用函数U（WT），都能够表示成样本增长率的效用函数，即

但是，如同前一节中的例子所说明的，随着T增加，假定U（WT）保持不变，与假定f（g）保持不变，对MEL渐近最优性的含义极为不同。

结论

如果在一个给定的环境中对“长期”的含义是什么存有疑问，就可以指出是在凯利意义上的长期投资，还是在萨缪尔森意义上的长期投资。事实上，凯利意义上的长期比萨缪尔森意义上的长期要常用得多［例如，参见麦克莱恩、索普和津巴（MacLean，Thorp，and Ziemba，2011）关于这一主题的著作］。这并没有证明前者是对的和后者是错的，而只是说在没有明确规定时，长期的含义更可能是哪一个。

如我们之前所指出的，马科维茨（1959）并没有建议投资者选择MEL投资组合。相反，他建议投资者不要选择有效边界上（均值）较高的投资组合，因为与MEL投资组合相比，这样一个投资组合短期波动性更高而长期（在凯利意义上）收益却较低。

[1] 即每个时期获得的收益率都来自同一分布。——译者注