理性决策者的社会排序

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如在第1章讨论的，理性决策者和一般决策者的一个主要区别是前者能够完全精确地认知自己的偏好，而后者则不能。古德曼和马科维茨假定，一个投票者只能够辨别有限个偏好水平，因而具备一般决策者的特征。一个理性决策的投票者会分配给每个候选人一个效用数字，而非一个偏好水平。在接下来的内容中，我们假设第i个投票者寻求最大化效用ui的期望值。具体而言，我们假设投票者的偏好满足第1章中的三个公理。这三个公理的主要含义是：①做出的选择与期望效用准则相符；②每个理性决策者的效用ui都是有界的

我们假设ui
定义满足式（10-7）的m维向量u构成的集合SF为可行集，以区别于可得集SA。将任意的u∈SF称为可行向量。我们规定社会排序规则能够比较任何两个可行向量，但除（也可能有SA=SF）外，不对可得集做任何假设。

希尔德雷斯的建议

希尔德雷斯（Hildreth，1953）假设个人根据期望效用准则采取行动，并假设社会选择应该基于这些效用做出。然而，尽管两个GM“条件”集中的每一个都意味着明确的社会选择规则，但希尔德雷斯的条件却太过宽泛，并不意味着这样的规则。例如，作为一种满足他在式（2-11）中所设定条件的方法，希尔德雷斯建议以如下形式做出选择

其中，X为“社会状态”，fi（X）将效用赋予X，以及根据希尔德雷斯，“g可从一大类函数中选择”。就其本身而言这没有什么问题，但就像阿罗的结论一样，它不能指导行动：在阿罗的情形中是因为没有规则能够满足要求；在希尔德雷斯的情形中，则是因为太多规则能够满足要求。

马科维茨和布莱（MB）公理

在这一节中，我们用效用向量而非排序向量重新表述古德曼和马科维茨的条件与定理。为避免混淆，我们将其称为马科维茨和布莱公理0～3，而不是古德曼和马科维茨条件0～3。对古德曼和马科维茨的两个定理，做类似的处理。除了以“效用”替代“排序”外，GM条件和MB公理的最主要区别是GM条件0假定可得集是有限的，而MB公理0无此假设。

如前面已经指出的，我们假设ui有上界和下界，并且

这样不失第1章公理之外的一般性。

设

分别是第i个元素为0和1的向量。运用标准的矩阵符号，我们定义u是可行的，如果

也即

◆公理0：简单排序。

（A）如果u和v是可行的，那么或者{u}≥{v}，或者{v}≥{u}（或者两者同时成立）。

（B）如果{u}≥{v}并且{v}≥{w}，那么{u}≥{w}。

{u}={v}被定义为{u}≥{v}和{v}≥{u}同时成立。

{u}>{v}被定义为{u}≥{v}成立而{v}≥{u}不成立。

◆公理1：帕累托最优。对任意两个可行向量u和v，如果u≥v并且u≠v，那么{u}>{v}。在这种情况下，我们说u对v是占优的。

◆公理2：对称性。如果u的元素是v的元素的重新排列，那么{u}={v}。

◆公理3：只有差别才重要。对任意常向量c，如果u、v、u+c和v+c都是可行的，那么当且仅当{u+c}≥{v+c}时，{u}≥{v}。

运用当前的符号，GM定理1就变成了MB定理1：

A.排序函数是相符的。

B.A中f（u）给出的排序是唯一相符的排序。

MB定理1的证明，与古德曼和马科维茨对GM定理1的证明基本相同。

GM定理2也可改写成MB定理2，并且MB定理2的证明也像古德曼和马科维茨的论文中一样。为此目的，将MB公理3重新标记为MB公理3a，然后将GM条件3b改写并标记为MB公理3b。

GM的推论，即没有符合社会排序不受将aij改变为α+βaij（对任意的α和β>0）影响这一要求的选择规则，看起来与第1章中表明的线性相关的效用函数

给出可选概率分布完全相同排序的事实相矛盾。这一明显的矛盾不复存在，如果我们按照如下方式阐释MB公理：投票者赋予每一个候选人j一个效用，u的零点和单位刻度已经确定。从而，如果ci>0，那么在MB公理3中uj+ci表示一个有更高排序的候选人，而不是指效用函数的尺度调整了。这是GM条件3的一个适当推广，因为前者实际上假设了ui=1和ui=Li，以及（对于正整数c）“aij+c”是一个有更高排序的候选人的排名。