算术和几何平均效用

《风险-收益分析：理性投资的理论与实践（第2卷）》算术和几何平均效用,页面无弹窗的全文阅读!

MB定理1是说，如果某些公理成立，那么{u}≥{v}当且仅当

在式（10-12）两边除以m，就有

换言之，MB公理意味着{u}≥{v}当且仅当

其中，AM（）表示“算术平均值”。

MB定理2是说，如果某些略微不同的公理成立，那么{u}≥{v}当且仅当

在式（10-15）两边同时取m次方根，就有{u}≥{v}当且仅当

其中，GM是指u的几何平均值。或者，在式（10-16）两边取对数，就可看到以MB公理3b替代3a意味着{u}≥{v}当且仅当

其中，AL表示对数的平均值。

总之，4个MB公理（包括公理3a）意味着平均（也称作算术平均）效用的最大化，而用公理3b替代3a，则意味着个人效用得分的几何平均值的最大化，或他们的对数效用平均值的最大化（请勿与具有对数效用函数的投票者相混淆）。

重新审视对称性

古德曼和马科维茨指出他们的对称性假设，即他们的条件2，“在一些情形中”是合意的。但如果GM条件2所明确的对称性并非合意的，比如在一个家庭中，父母的需要和偏好对选择的影响大于孩子和宠物，又会怎样呢？如果我们将GM选择矩阵的行，或者MB选择向量u和v的元素视为选票而非投票者，就可立即得到答案。具体而言，如果我们

◆允许每个投票者有不止一张选票；

◆假设第i个投票者的所有ni张选票都是相同的，因为它们都类似于投票者的效用，而非可能引起投票者在不同投票之间改变陈述性偏好的策略考量；

◆假设GM条件2和MB公理2适用于选票而非投票者。

那么，GM定理1和MB定理1意味着{u}≥{v}，当且仅当

其中，ni是第i个投票者“拥有的”选票数。如果我们在式（10-18）两侧都除以∑ni，就能够得到一个一般形式的等价排序标准

其中，βi为正有理数，它们的和等于1.0。反过来，给定任意一组正有理数βi（无论它们的和是否等于1.0），总是存在若干选票和这些选票的一个分布，使得式（10-19）是选择函数［只需将所有的分数以它们共同的分母表示，并在式（10-19）的两侧都乘以这个共同的分母］。因此，存在多选票的投票系统，使式（10-19）中的系数可为任意的正有理数。

我们注意到，上述讨论是以一种形式的对称性取代另一种形式的对称性，即以“一次一票”取代“一人一票”。但后者是前者的特例，在后者中，每个人只有一张选票。为免读者认为这里的更一般假设是对称性的唯一合理形式，我们提请读者注意稍后小节中讨论的“纳什对称性”。