第1章 期望效用准则
《风险-收益分析：理性投资的理论与实践》第1章 期望效用准则,页面无弹窗的全文阅读!
简介
在前言中，我们已经提及马科维茨（1959）的研究假设被放置在最后一卷的第10章，把基本假设放置在全书最后的原因是考虑到任何一位实践领域的相关人员不会对以严格理论为起点的书籍产生阅读的兴趣。现在我们已经更加清楚地知道，实践领域中有许多问题是需要我们急迫解决的，实践领域工作者争论的焦点主要集中在以下四个方面。
（1）在什么条件下使用均值-方差分析方法。
（2）在均值-方差分析方法不适用的情况下应该选择什么方法。
（3）单期风险-收益分析和多期风险-收益分析的联系。
（4）如何处理参数的不确定性。
对下述问题的权衡涉及复杂的知识。
如果投资者相对于投资组合B更加偏爱投资组合A，那么投资者应该倾向于选择投资组合A，还是他会通过掷硬币的方式确定投资组合A和投资组合B一样好或是投资组合A优于投资组合B？
也就是说，如果投资者相对于投资组合B更加偏好于投资组合A，那么他更倾向于选择投资组合A[1]，还是选择投资组合A和投资组合B的机会均等呢？
令人惊讶的是，上述问题的答案可能暗示着投资者应该如何选择评价风险的替代方法。
例如，下面给出了风险度量的两种方法：①标准偏差法；②最大化损失法。最大化损失法的使用具有一定的风险，因为它违背了以下原则：如果投资者相对于投资组合B更加偏好于投资组合A，那么投资者偏好于选择投资组合A的可能性更胜于投资组合B。例如，假设投资组合A获得30%的收益或损失10%的概率都为50%，而投资组合B获得40%的收益或损失20%的概率也都为50%，两种情况下的预期收益率均为10%。投资组合A的标准差为20%，其最大化损失为10%，而投资组合B的标准差为30%，其最大化损失为20%。因此，无论运用哪一种标准衡量风险——标准差法或最大化损失法，投资组合A都要优于投资组合B。如果投资者选择掷硬币的方式在投资组合A和投资组合B之间进行选择，整个过程（掷硬币，然后选择某种投资组合或选择其他投资组合）会产生低于只选择投资组合B的标准差，但是整个过程产生的最大损失与仅选择投资组合B产生的最大损失相同，每种选择（掷硬币或投资组合B）下的最大损失可能达到20%。因此，最大化损失的衡量标准违背了人们偏好于更好的选择而不是更差的选择的期望。如果投资者接受了后者，那么最大化损失法甚至无法用作测量可替代风险的方法。
通过对上述问题进行总结，给出本书的写作顺序，这些主题有助于解决上述问题中的疑惑。
（1）定义某些概念，包括最大期望收益。
（2）描述期望收益最大化的属性，包括个体偏好是否能用数字来加以描述[2]及哪种效用函数促使投资组合多样化。
（3）比较HDM（人类决策者）和RDM（理性决策者），后者是这本书的主题。
（4）讨论期望效用准则下产生的异象，以及这些异象如何影响HDM和RDM的行为。
（5）介绍三种我们认为对于RDM是合理的“决策选择定理”。
（6）读者可参考以下论证［马科维茨（1959）］：决策者的行为与上述提到的定理相互一致，那么他一定是根据最大效用规则进行决策的。
（7）处理尚未解决的重要的问题。
本书的后续章节考虑了各种风险-收益准则的价值，并以此作为期望效用准则的近似。如前言所述，后续部分我们考察一段时间内知道风险-收益概率的理性决策者和不知道风险-收益概率的理性投资者的行为，实验中要考虑到特定的实际注意事项，尤其是人力资源在计算机部门、数据部门、运算部门以及判断部门之间的分配。
本章节和后面的三个章节看起来可能更学术，但是实际上，我们所讨论的风险-收益分析理论用于具体实践中比用于学术中更重要，即在进行投资决策的实践中运用风险-收益分析理论要比在选择风险测量方法中运用风险-收益分析理论更有价值，但是在实践领域中全面运用风险-收益理论的情况却很少出现。现实中，实践领域的工作者通常只运用风险-收益理论中的一小部分内容作为风险的度量基础，例如，在使用方差测量风险时通常假设收益率序列服从正态分布，而以此方式测算的结果存在较大的误差。所以，在实践过程中，为了更加准确地进行风险测算，实践领域工作者必须运用全面的风险-收益分析理论的相关知识。
[1] 原书为“更倾向于选择投资组合B”，疑有误。——译者注
[2] 即个体偏好是否可以表述为效用函数。——译者注
定义
在本节，我们定义了在最大化期望收益准则的讨论中使用的术语。假设理性决策者面临下列两种概率分布时必须做出选择，分布形式如下：
理性决策者在做出选择之前，要经过计算获得结果并进行比较。理性决策者做出的决策结果和按照上述方法计算出的结果很可能不一致，而这种不一致的原因很可能是单期决策。在马科维茨（1959）名为“中间决策，不完整结果”的第11章中，将此观点进行了细化。
我们的讨论会涉及“收入”“收入的概率分布”“收入的概率分布的偏好”和“期望效用准则”这些术语。通过定义，我们可以明确每个术语的唯一性。例如，如果可能的话，将个体获得1000美元的收益和一辆汽车的组合定义为单一收入。如果个体既不会获得收益也不会有损失的情况存在，那么这种情况下的收益将会被定义为另一种收入。因此，我们可以将个体的可能收入情况划分如下。
（1）获得一辆汽车；
（2）获得1000美元；
（3）获得一辆汽车和1000美元；
（4）获得的收益为0。
上述四种收入情况是在特定的单期下收入的四种可能情况。
为了方便起见，我们用一个有限的数n来表示收入的n种有限状态，这不是一个严格的假定，尤其是自从宇宙大爆炸以来，n可以表示任何微妙的数值（我们将引用概括本文提出的非限定概率分布结果的文献）。利用向量表示的收入概率分布可以写成下式：
P=（p1，p2，…，pi，…，pn）
式中pi——第i个收入出现的可能性。
在有且只有一个收入将会出现的情况下，pi的和为1，即有如下假定：
显然，pi不可能为负值，即
因此，我们可以考虑如下两种概率分布：
P=（p1，…，pn）和Q=（q1，…，qn）
就像彩票可以提供多种可能的收益一样，我们可以设想投掷一枚硬币，当出现头像时选择彩票P，而当出现数字时选择彩票Q。如果这样做，那么获得第i个收入的概率就是：
（选择彩票P的概率）×（选择彩票P获得收入的概率）+（选择彩票Q的概率）×（选择彩票Q获得收入的概率）
如果掷硬币的方法是公平的，那么上述计算结果为
（1/2）pi+（1/2）qi
一般来讲，如果选择P的概率是（a），选择Q的概率是（1-a），那么获得第i个收入的概率是：
api+（1-a）qi
因此，在选择P的概率是（a）和选择Q的概率是（1-a）的情况下，最终收入的概率分布用向量形式表示如下：
［ap1+（1-a）q1，ap2+（1-a）q2，…，apn+（1-a）pn］
上述结果用矩阵形式表示为aP+（1-a）Q。因此，后者可以作为P或者Q的选择概率的一种解释，或者在矩阵代数规则下，作为从向量P和向量Q获取可能收益的一种新向量形式。
我们经常高估或低估分析中的隐含假设，如果根据情景具体分析，则RDM的决策（以及HDM的决策）应该仅取决于收入的概率分布，而不是这些概率是如何生成的。特别地，我们假设已经给收入下了一个适当的定义，这也是为了使决策者客观地考虑下述情况：①产生收入的单一分布的概率等于aP+（1-a）Q；②上述描述的两阶段过程。如果决策者享受过程本身，像观看赛马比赛一样，那么这将会拓展收入的定义，上述定义将不再适用。马科维茨（1959）针对此观点做出了详细的阐述。
若n种收入的概率分布的选择决策者是RDM，特别地，如果P和Q是任意一种概率分布，RDM要么喜欢P更胜于Q，要么喜欢Q更胜于P，或者对两者同样喜欢。这一系列的偏好可能符合也可能不符合期望效用准则。如果符合期望效用准则，将存在下列量化效用：
u1，u2，u3，…，un
则概率分布为：
（p1，…，pn）
上述分布倾向于概率分布：
（q1，…，qn）
当且仅当
式中u1，u2…——每种收入对应的量化效用。效用的平均值可以用概率p1，p2，…进行加权平均得到。因此，期望效用准则假设线性函数∑uipi描述了RDM的偏好概率分布。
独特性
如果u1，u2，u3，…，un这些量化效用描述了RDM的偏好，我们将量化效用乘以数值b，再加上一个常数a，得到一个新的效用函数：
那么的概率分布正好是u=（u1，…，un），也就是：
当且仅当
证明
因为b＞0，EPU′≥EQU′，当且仅当EPU≥EQU。
如果决策者偏好下面三种收入的概率分布，即效用u=3、u=4和u=8，若我们希望重新定义效用准则：u=3时对应的收入的效用值为0，u=8时对应的收入的效用值为1，然后再减去3/5，这样我们就得到了等价的效用的另一种效用值：
u′描述的偏好和u是相同的，然而，u′实现了指定效用的起点并设定了效用的单位这一标准化形式。
一般来讲，我们可以将任意收入赋予零效用，也可以将任意更好的收入赋予单位效用，任何一个收入都可能被赋予零效用。然而，决策者对于特定概率分布的偏好也决定了效用的量化情况，在这种情况下，每一个收入都必须对应一个量化效用。例如，假设我们将收入1赋予0效用，将收入2赋予单位效用，那么对于一个比收入1好而不如收入2的收入3应该被赋予怎样的效用值？在决策者更加偏好于收入1时，收入3的量化效用应该是多少？后面的部分，我们将会看到，若决策者的决策行为符合期望效用准则，若收入1的概率为p、收入2的概率为1-p，那么收入3与收入1和收入2的组合一样好，我们可以确定收入3的效用如下：
u3=pu1+（1-p）u2=p（0）+（1-p）（1）=1-p
因为RDM的偏好已经被u1=0和u2=1所指定，因此u3一定是收入3对应的效用，注释中我们将探讨其他情况。1