期望效用准则的特征

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在特定情况下，投资组合的收益是随机的，对应不同投资组合的收益其效用可以用图1-1中的ll′和ss′表示。为了和我们的假设保持一致，投资组合收益具有有限种可能，即我们选择的投资组合是离散的投资组合，因此，我们可以给出图1-1中的曲线，用于描述离散收益条件下的效用函数。在图1-1中，收益率的范围是［-1，∞），收益的间隔为0.0001个百分点。

图1-1中，形如ll′被称为“凹”的，形如ss′被称为是“凸”的。“凹”的曲线指连接曲线上任意两点的直线位于曲线下方或者和曲线重合。若直线位于曲线下方，正如ll′那样，就被称为严格“凹”的。“凸”的曲线是指连接曲线上任意两点的直线位于曲线上方或者和曲线重合。若直线完全位于上方，正如ss′那样，就被称为严格“凸”的。

图1-1　凹形效用曲线和凸形效用曲线

如果决策者的行为和严格“凹”的效用函数ll′保持一致，假定决策者在如下两种情况中做出选择：

（1）获得收益a%和遭受a%损失具有相同的概率，概率均为50%；

（2）投资者没有获得收益，也没有遭受损失的确定性情况。

上述两种情况的期望收益都为0。若用图1-1给出的期望效用函数曲线描述：第二种情况的期望收益为0，而第一种情况下，决策者获得的效用可以用以下函数形式表示：

（1/2）U（a）+（1/2）U（-a）

效用函数分为“凹”的和“凸”的两种形式，对应于“凹”效用函数的效用水平是凹曲线ll′的中点，对应于“凸”效用函数的效用水平是凸曲线ss′的中点（即ll′上的点b和ss′上的点c），端点分别介于［-a，U（-a）］和［a，U（a）］，凸曲线ss′的中点b和凹曲线ll′的中点c分别位于对应端点连成的直线上。

因为曲线ll′是严格“凹”的，所以b点的效用小于0：决策者一定会选择投资。因此，具有凹效用函数的RDM是风险规避型投资者[1]，更加倾向于多样化的投资组合。然而，类似于曲线ss′这样的凸形效用函数曲线则相反，c点所代表的期望效用比不进行赌博时的期望效用要高，所以，运用凸形效用函数的RDM风险偏好型投资者，不会选择多样化的投资组合。

除特殊情况外，本书将以决策者均为风险规避型投资者（即投资者运用严格凹的效用函数曲线进行投资决策）的假设为基础进行相关的讨论。

[1] 关于风险规避型投资者的论述，涉及赌博的效用和收益的效用，具体参见《高级微观经济学》，哈尔·瓦里安著，第11章，P183-192。——译者注