韦伯定律和阿莱悖论
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韦伯定律运用“概率”解释了阿莱实验中HDM的选择行为。例如，假设决策者可以在收益概率分别为P0、P1、P2的三种投资方案中任意选择一种，并且每种概率下对应的特定收益及其关系如下：
D0＜D1＜D2
其中，概率P0、P1、P2满足如下线性约束条件：
因此，期望收益表示为下式：
例如，如果D0＜0是彩票的价格（彩票的价格也可能是D1和D2），那么k=0时的彩票被定义为平价彩票，然而，当k＜0时，则彩票购买者将会盈利。
我们可以将D0和D2的效用分别设为u0=0和u2=1，则D1的效用处于0和1之间，即u1∈（0，1）。典型的彩票，与D1和D2相比，|D0|相当小。在k≤0的条件下，P1和P2可能很小，可能存在P1+P20.5，所以P00.5。
效用最大化偏好者为达到最大化的目的会同时选择P0、P1、P2，即有：
线性约束条件影响式（1-5a）和式（1-5b）。式（1-5d）中的期望效用（EU）在Pi＞0（i=0，1，2）的条件下永远不可能实现［这是马科维茨（2010）所验证的获得任一奖金数量的结果相同的特殊情况］。因为我们知道典型的彩票具有P0＞0的特征，所以对于典型彩票来讲，期望效用最大化的方法就是使P1=0或者P2=0。因此，在阿莱的另外一个实验中，Pi＞0（i=0，1，2）的偏好和期望效用准则相互矛盾。
如果韦伯定律应用于对P1和P2的感知方面，目标函数式（1-5d）可以表示为：
需要注意的是，因为u0=0，式（1-5e）并不适用于P0的情况。
当最大化V时，V的值要受到P0、P1、P2值的线性约束条件的限制，即P0＞0、P1＞0和P2＞0［见式（1-5a）和式（1-5b）］。
证明
结合式（1-5a），消除式（1-5c）中的P0项，得到公式如下：
整理后得到：
其中，a1＞0，a2＞0，c＞0。在下式的值为0的条件下，分别对P1和P2求偏导数：
我们可以得到：
因此，
其中，h=1/λ。如果式（1-5h）和式（1-5i）有解，则必须满足λ≠0。将式（1-5j）和式（1-5k）代入线性约束条件式（1-5g）后得出：
式（1-5g）中，当P2=0时，则有P1＞0，或者当P1=0时，则有P2＞0，此时，P2可以表示为P1的线性函数，并且可以求出P1和P2的最大值。因此，在P1→0和P2→0且两者方向相反时，目标函数式（1-5e）可以简化为只含有P1的公式，即P1→-∞。
因此，不等式（1-5b）需要在内部实现最大化的条件下才能实现，即HDM更愿意运用韦伯定律去感知较小的概率，并依此做出投资选择，HDM的投资决策与阿莱实验中涉及的期望效用最大化原则是相互矛盾的。
公理
欧几里得是古希腊著名数学家，欧式几何学开创者。在欧几里得著作《几何原本》（1482）第13卷中，欧几里得首先提出确定的公理和公设，然后再由简到繁地对所提出的公理和公设进行验证。冯·诺依曼和摩根斯特恩（1944）运用投资对我们切身利益的影响程度来解释这种公理化方法，即表现为我们对投资收益的可能概率分布的选择。冯·诺依曼和摩根斯特恩的公理意味着投资者应该遵循期望效用准则进行投资决策。马科维茨（1959）著作的第10章阐述了两种相似的公理集，这两种公理集是对马科维茨（1950）著作中的公理集的改进。与欧几里得区分公理和假设不同，冯·诺依曼和摩根斯特恩、马尔沙克（Marschak）以及马科维茨的研究中只考虑公理，并且运用被认可的数学和逻辑法则推断公理的结果。这是因为欧几里得仅仅运用当时所知的数学和推断方法进行正式的推导，而冯·诺依曼和摩根斯特恩以及其他学者运用众所周知的数学过程推导其公理的结果，即他们拥有自己的公理证明体系（包括各种推导方法的选择、更多的考虑）。
马科维茨（1959）著作中提出的公理体系由公理Ⅰ和公理Ⅱ以及公理Ⅲ或公理Ⅲ′构成，本节后面部分对上述公理进行了详细的阐述，并且马科维茨（1959）著作第10章和附录C中都列示了这些公理的证明过程。此外，马科维茨（1959）著作中也阐述了由这些公理不能证明的但却能降低期望效用准则有效性的相关证据。
公理Ⅰ
公理Ⅰ：现实中，RDM能够对概率分布进行排序，并且这种顺序具有一致性（可传递性），即
公理Ⅰ（A）：如果P和Q为任意的两种概率分布，则有下列三种情况出现，即①P优于Q；②Q优于P；③P和Q一样好。
公理Ⅰ（B）：如果认为P至少和Q一样好，并且Q至少和R一样好，那么可以认为P和R至少一样好。
对于公理Ⅰ（A）而言，隐含了投资者基于概率分布进行选择这一假设，而不是基于概率分布的生成过程进行投资决策。公理Ⅰ（A）中的假定表明：RDM的决策是果断的而不会犹豫不决，即RDM要么认为概率分布P优于概率分布Q，要么认为概率分布Q优于概率分布P，或者认为两者一样好。
公理Ⅰ（B）可以解释如下：如果RDM的投资组合顾问告诉我们“投资组合1优于投资组合2，投资组合2优于投资组合3，与此同时相关信息和环境都没有任何改变，那么投资组合3将优于投资组合1”时，我们会非常失望。尤其是，因为公理Ⅰ（B）表明：如果概率分布P恰好和概率分布Q一样好，并且概率分布Q恰好和概率分布R一样好，那么概率分布P恰好和概率分布R一样好，所以其并未对于“偏好”做出明确的界定。如前所述，这就是HDM和理想化的RDM之间存在的主要差别。
公理Ⅱ
公理Ⅱ考虑了类似于通过掷硬币的方式选择彩票进行投资的情况，但是它解释得更加详细，尤其是：
公理Ⅱ：如果概率分布P优于概率分布Q，并且R为任意概率分布，那么获得概率分布P的概率为a以及获得概率分布R的概率为（1-a）的投资选择要优于获得概率分布Q的概率为a以及获得概率分布R的概率为（1-a）时的投资选择（这里的a不为0）。
公理Ⅱ的解释：假设获得概率分布R的概率为（1-a），获得概率分布P或Q的概率为a。用上述基本假设解释公理Ⅱ，即决策者在这种情况下做出的投资选择是由概率本身而不是概率的来源决定的，因为如果决策者选择概率分布P，则决策者可以得到的总体分布为aP+（1-a）R，然而，如果决策者选择概率分布Q，则决策者可以得到的总体分布为aQ+（1-a）R。
公理Ⅱ中，R可以为任意概率分布，正如前面例子中的推论一样，我们可以得出下面两个推论：①如果R=P，那么公理Ⅱ阐述了概率分布P要优于概率分布P和概率分布Q的组合；②如果R=Q，那么公理Ⅱ阐述了概率分布P和概率分布Q的组合要优于概率分布Q。
某人进入一家餐厅后点了一杯不加奶精的咖啡，服务员回应道，“先生，很抱歉，我们的奶精已经用完了。您可以换一杯不加牛奶的咖啡吗？”
假设上述故事中顾客需要一杯不加奶精的咖啡的要求反映出其对黑咖啡的偏好（P），而选择不加牛奶的咖啡（Q）、选择加奶精的咖啡（R）。那么上述故事中的服务员认为顾客对于P和Q的偏好取决于R是否存在。如果这是荒唐可笑的，那么人们对于公理Ⅱ的异议从逻辑上来讲同样是可笑的，但是这并不意味着阿莱提出的异议是荒谬的。相反地，阿莱悖论促使我们核实关于RDM的假设，并将RDM和HDM的决策行为进行比较分析。
公理Ⅲ和公理Ⅲ′
马科维茨（1959）著作中的第三条公理实际上表述的是RDM的投资偏好是概率的连续函数，RDM偏好的一种描述方法即用连续定序函数f表示，即
f（p1，…，pn）
其中，f表示连续函数。
RDM偏好的另一种描述方法（通常在公理化期望效用时使用），即假设RDM的偏好具有一个或多个特征，然而，这种描述方法也暗示着上述连续定序函数f的存在。
我们可以不以RDM偏好的连续定序函数为基础构建理性决策者的偏好模式。例如，假设某人想要吃一粒糖果而不是拥有一家糖果店，并且如果吃不到糖果此人就会瞬间死去，进一步地，我们假定此人必须在下面两种方案中做出选择，即
（1）吃掉糖果的概率为a，瞬间死去的概率为（1-a）；
（2）上述事情100%不会发生。
如果此人选择总价值为a但低于1的方案B，那么此人的偏好就不能描述为连续定序函数。但是，当我们说人们选择横穿繁忙的马路去对面购买快餐的任何概率都低于1时，我们所讲的概率要包含0.99999999999999999999999999999999999999995。
公理Ⅲ和公理Ⅲ′排除了绝对安全的第一种行为，如果人们拥有小汽车或者卡车，人们就不会选择横穿马路去买快餐。
公理Ⅲ：如果概率分布P优于概率分布Q，概率分布Q优于概率分布R，那么存在a，使得aP+（1-a）R恰好与概率分布Q一样好。
公理Ⅲ′：如果概率分布P优于概率分布Q，概率分布Q优于概率分布R，并且存在p＜1和q＞0，则存在这样的p和q，使得（1）和（2）成立：
（1）pP+（1-p）R优于Q；
（2）Q优于qP+（1-q）R。
公理Ⅲ′将“糖果”例子中体现的概率的不连续函数的观点公理化。公理Ⅰ、公理Ⅱ以及公理Ⅲ或公理Ⅲ′是应用期望效用准则的充分必要条件。这种必要性体现为：如果RDM遵循期望效用准则进行决策，那么其行为必然会遵循这些公理。
证明
根据不等式（1-2），期望效用准则指定了决策者对于P、Q和R等概率分布的偏好，并且指出了这些概率分布可以用相应的线性排序函数表示。投资者根据任意排序函数所做出的决策遵循公理Ⅰ，而根据任意连续函数做出的决策与公理Ⅲ和公理Ⅲ′相一致，并且不等式（1-2）的线性关系为投资者决策时遵循公理Ⅱ提供了保证。
因此，公理Ⅰ、公理Ⅱ以及公理Ⅲ或公理Ⅲ′构成了应用期望效用准则应用的必要条件。然而，马科维茨（1959）著作中却阐述了相反的观点：公理Ⅰ、公理Ⅱ以及公理Ⅲ或公理Ⅲ′三条公理中的每一条都是应用期望效用准则的充分条件，其证明的基本假设是投资者获得的可能收益为有限数值。Fishburn（1982）将投资获得可能收益拓展到无限数值范围，发展了上述公理体系。不幸的是，Fishburn（1982）犯了一个绝对的错误，他将自己发展的公理体系归因于Jensen（1967），事实上，其公理体系中包含了马科维茨（1959）著作中阐述的公理Ⅰ、公理Ⅱ以及公理Ⅲ或公理Ⅲ′。
如前所述，HDM对自己偏好的认知是模糊的。如果我们计划运用期望效用准则来明确地正规化投资者的效用函数并且确定其投资组合最大化的期望效用值时，投资者对于偏好认知的模糊性将会成为最大的阻碍。但是，本书阐述的期望效用准则的运用与此有很大的差别。本书后续章节将会阐述凹的效用函数的广泛应用范围，如果投资者从均值-方差的有效边界中选择了一种（对其自身来讲）合适的投资组合，那么即使在不知道其效用函数的条件下，投资者也会几乎实现其最大化的期望效用。不仅因选择最优期望效用而遭受的损失对其本身来讲不是特别大，而且，我们认为与误差相比，上述损失可以忽略不计，然而，误差的估计必须是从所需的均值-方差分析或测算（通常要求更高）中参数的前瞻性估计过程中得出，这种估计需要全面考虑期望效用分析，还可能要与前面讨论过的误差进行比较。