收益的效用是否存在边界

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到目前为止，本章的主要内容我们已经阐述完毕，即本章我们解释了在选择投资组合时，为什么将期望效用准则作为评价投资组合好坏的检验标准。接下来，我们将对本章的内容做出简单而重要的总结。尤其是，我们将会审视我们先前所述和今后要做事情之间的明显矛盾。

公理Ⅰ和公理Ⅱ只有在投资者偏好能够以可排序的效用值u1，u2，…，un进行排序时才会有效［如不等式（1-2）所示］，当然u1必须是有限数值。事实上，（对于n≥3）如果ui的其中一个取值趋近于∞或-∞，那么公理Ⅲ和公理Ⅲ′都会无效。然而，本书第2章、第3章以及第4章中的部分内容将均值-方差近似转化为对数效用函数形式，例如，投资损失率为100%时的对数效用函数可表示为如下形式。

U=log（1.0-1.0）=-∞

此外，投资者收益为无限数值的情况超出了本书的研究范围，Menger（1967）指出，如果效用函数没有边界，那么概率分布可能总是以正向或负向无穷大的期望效用来定义。因此，如果可能收益是无限数值，那么上述公理可以以U和U表示，例如：

U≤ui≤U，i为任意值

然而，log（1+R）是没有边界的。因此，有界效用或者对数效用函数哪一个是正确的，并且在任何情况下，我们应该如何使公理Ⅲ或公理Ⅲ′与本卷第3章和第4章的内容保持一致呢？

针对上述问题，我们重申我们赞同的公理Ⅰ、公理Ⅱ以及公理Ⅲ或公理Ⅲ′，因此本卷着重研究有界效用。例如，假定投资者投资损失率为100%，即其效用函数为U＝-∞，这预示着（假设效用值有99.99%的可能性为有限数值）：投资者会宁愿选择99.99%的可能性的损失，也不愿选择极小可能性的被全部清除。我们假设读者不具有这样的偏好。如果我们试图通过将99.99%的损失率指定为负向无穷大的效用来解决这个问题，那么投资者的损失率为99.98%时将会重复这一问题，如此等等。这也就解释了为什么我们坚持认为效用是有边界的观点似乎是合理的。

此外，如果RDM的效用函数是正向无界函数，那么无论RDM拥有多少财富（例如，109美元、1012美元或1016美元甚至更多），RDM都会运用较小数目的金钱（例如1012美元）投资到收益更高但风险较高的投资组合中。我们再次假设读者不具有这样的投资偏好。

我们运用对数效用函数检验均值-方差逼近的有效性的原因如下。

（1）起源：对数效用函数最初由丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）（1954）提出。1738年，伯努利为解决其在期望收入准则中发现的问题，在其1954年的著作中提出了对数效用函数。

（2）本卷第4章中，我们运用风险测量方法将均值-方差逼近和对数期望效用函数近似值进行了比较，当离差比较大时，这些方法中的部分方法被认为是测量均值-方差的最优方法。离差较大的情况下，无界效用函数似乎是评估风险测量方法有效性的合适方法。

（3）概率分布的期望对数值（或者对数集的平均值）是在知晓其几何平均值的基础上得出的，反之亦然。两种有趣的收入集合的几何平均值的可得，形成了本卷第3章的研究基础。但是，第4章的研究需要取得进一步的数据。

我们通过效用对数值本身作为一些真实效用（效用通常是未知的）函数的近似的方式使上述公理体系（公理Ⅰ、公理Ⅱ以及公理Ⅲ或公理Ⅲ′）与本卷第3章和第4章中的对数效用函数相一致。我们处理的所有概率分布都会有较小的机会获得最大的收益，如果存在最大收益，则超过90%的损失也会同时并存。因此，在90%的损失率到某些很大的收益范围内，对数效用函数的近似（某些真实、有界效用函数）足以充分作为真实效用的近似值。本卷第4章的结论证明了在此范围内的效用函数的近似作为风险度量的不同方法近似的有效性问题。

附言

如果概率分布是非正态的，那么不应该运用均值-方差分析方法进行投资决策。马科维茨（1959）认为用均值-方差分析方法计算的均值-方差近似作为期望效用近似的事实是罕见的。例如，Quiggin（1993）著作第8页阐述的观点：“最初，期望效用方法面临着来自均值-方差分析方法的强烈竞争压力，马科维茨（1959）著作中关于投资组合的分析对此有举例说明，但是这种方法的逻辑基础与期望效用理论相比更加不确定。”马科维茨（1959）著作的目录中，我们会发现有一章题目为“期望效用”，粗略地阅读此章内容，我们会发现效用分析的前提和马科维茨（1959）提出的均值-方差分析的前提是完全相同的。

虽然马科维茨针对此问题曾经努力多次推广真理［Levy和Markowitz（1979），Kroll（1984），Markowitz（1991 a），Markowitz（1991 b），Markowitz（1994），Markowitz and Usmen（1996 a&b），Markowitz（1997），Markowitz和Usmen（2003），Markowitz和van Dijk（200）以及Markowitz（2010）］，但Quiggin并不是唯一一个对投资组合理论的基本假设持有错误观念的学者。

我们殷切地希望本卷内容会对传播马科维茨（1959）著作中的基本假设思想有所贡献，更重要的，我们希望均值-方差分析方法能够更好地服务于现实投资者！