第2章　期望效用的均值-方差逼近

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简介

在第1章中，我们对以下两个方面内容进行了详细阐述，即①在投资收益的概率分布选择过程中，我们为什么将期望效用准则作为理性决策的标准；②如果投资者选择的投资组合收益概率分布是凹的效用函数形式，那么投资者做出的是风险规避型决策：假定投资者投资的特定回报R可以是确定值或是随机值，并且R也代表了投资的期望价值，那么决策者（最大化严格凹的效用函数的期望价值）会更加偏好于确定的收益而不是随机的收益。本章及以后章节，我们将要探索一些均值-方差函数是否能够为各种凹的效用函数的期望价值提供一个更好的近似。在第4章中，我们探讨了是否是均值函数和风险测量方法而不是方差能够更好地逼近特定效用函数的期望价值。

许多学者认为只要收益分布满足正态分布或者U为二次方项，均值-方差（MV）有效的投资组合就会提供一个精确的、最优的期望效用（EU）。1均值-方差有效集合的最优化方法（即有效边界）能够使我们相信只有在严格约束条件下才能够产生最大化的期望效用。然而，自从统计学家的研究成果对股票价格的收益分布特征进行深入研究以来，股票的收益分布的正态假设多次被拒绝，且期望效用的函数形式为凹的条件下达到效用最大化的二次函数下符号都和均值-方差假设的理论符号不符，因此，一些学者得出了“和其他正规的分析方法相比，无论均值-方差方法多么具有简便易操作性，均值-方差分析方法并不适合作为投资组合选择决策的方法”的结论。

然而，马科维茨（1959）认为：在广义的投资收益的范围条件下，如果通过二次项能够使得效用函数U（R）足够逼近，那么期望效用（EU）会近似等于一些期望收益为E、收益方差为V的函数f（E，V）值。尤其是，这预示着当含有二次项的效用函数既定的条件下，可以用如下两种方法作为效用函数的近似函数。

式（2-1）和式（2-2）为两种不同的差分方法：式（2-1）表示以“0”点为基础的差分方法，而式（2-2）是以“E”点为基础的差分方法。例如，自然对数形式的效用函数U=log（1+R），函数［式（2-1）］和［式（2-2）］的近似函数分别如下所示：

按照V=ER2-E2，方差可定义为V=E（R-E）2，因此，上述每一个等式的期望值都可以写作均值和方差的函数形式，即

如表2-1所示［即马科维茨（1959）著作第121页的表2］，当投资组合的整体收益率处于［-30%，40%］范围时，log（1+R）和qZ的值略有不同。例如，当R=-0.30（即损失率为30%）时，log（1+R）=-0.36，而二次项［qZ（R）=R-（1/2）R2］的值却等于-0.35；当R=0.40（即收益率为40%）时，log（1+R）=0.34，而二次项［qZ（R）=R-（1/2）R2］的值却等于0.32。当投资收益率处于（-0.30，0.40）范围内时，即R=-0.20，-0.10，…，+0.30条件下，对数效用函数值近似等于表2-1所示数值。甚至在投资损失率为40%或者收益率为50%的情况下，log（1+R）和qZ之间显著不同但差异不大：当R=-0.40（即损失率为40%）时，log（1+R）=-0.51，而二次项［qZ（R）=R-（1/2）R2］的值却等于-0.48；当R＝50（即收益率为50%）时，log（1+R）=0.41，而二次项［qZ（R）=R-（1/2）R2］的值却等于0.38。然而，随着投资的可能收益范围的进一步扩大，效用函数近似函数的模拟效果不断变差。尤其是，当R→-1.0时，log（1+R）→-∞，但当投资损失率为100%时，qZ=-1.5。相反地，随着R的增加，qZ会在R=1时达到最大值，之后会逐渐减小。

表2-1　log（1+R）和R-（1/2）R2的比较

马科维茨（1959）著作中总结道：在收益分布中，投资组合整体的收益率几乎都处于［-30%，40%］范围内，偏离上述范围的情况很少，并且即使有所偏离，偏离程度也不会很大，在这种条件下，通过选择合适的均值-方差有效前沿，E［log（1+R）］最大化时可以使期望效用达到最大化。从此之后，不同领域的学者以各种效用函数和历史的、假定的投资组合收益分布为基础，对均值-方差函数逼近期望效用的水平进行了相关检验。总的来说，这些学者的结论是令人满意的。

本章余下部分重点阐述了关于各种期望效用（EU）的近似函数f（E，V）的相关研究中取得各种不同的结论。

第2章 期望效用的均值-方差逼近

第2章　期望效用的均值-方差逼近