为何不只最大化期望效用

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如果人们相信投资决策应该和期望效用最大化准则保持一致，那么为什么还要通过均值-方差分析去寻找期望效用最大化的近似呢？为什么不只最大化期望效用呢？为了解决这个问题，我们将期望效用最大化分为下列三种类型，即

·显性期望效用最大化：已知效用函数条件下的期望效用最大化（存在一个显然已知的效用函数形式）；

·均值-方差逼近的期望效用最大化；

·隐性期望效用最大化：投资者效用函数未知条件下的期望效用最大化（从投资者的投资行为逆推效用最大化的函数形式，和显示性偏好理论相一致）。

当我们试图通过数字分析方法寻找既定效用函数实现最大期望值的投资组合时，我们运用的是显性期望效用最大化准则；相反地，在效用函数既定的条件下，当我们选择运用均值-方差近似的方法寻找最大化的期望效用时，我们运用的是均值-方差逼近的期望效用最大化准则。例如，通过计算均值-方差的有效边界以及选择式（2-5）或式（2-6）中fZ或fE最大者的投资组合的方式，可以使Elog（1+R）近似最大化。

列维（Levy）和马科维茨（1979）发现均值-方差逼近的方法通常是非常准确的，因此，列维和马科维茨总结道：“假设投资者为X先生，如果X先生能够谨慎地选择最适合自己的均值-方差有效的投资组合，并且X先生一直不知道自己所选择的投资组合当前的效用函数，但是X先生选择的投资组合的期望效用是最大的或者近似最大化的。”我们将这种投资过程称为隐性期望效用最大化。

尤其是，确定一组均值-方差有效的投资组合比计算投资组合最大化的期望效用要更方便和更经济。从历史的角度来看，运用期望效用最大化准则进行投资决策的麻烦和额外费用的产生来源于后续的计算。尤其是，相比运用均值-方差有效边界的方法，计算投资组合最大化的期望效用会使我们花费更长的时间（或许多等待几个小时）和支付更高的电子账单。虽然，由于计算更快、价格更便宜的计算机的出现，这种计算已经不成问题，但是，正如计算投资组合的均值-方差有效边界一样，计算大部分凹函数的期望值仍然需要花费大量的时间。2然而，无论选择哪一种方法，计算所需要的足够长的时间都是一种实际限制。

然而，与均值-方差逼近期望效用最大化或隐性期望效用最大化相比，显性期望效用最大化会产生额外的其他费用和麻烦，首要考虑的就是参数估计。而均值-方差分析中只需要分析证券组合或资产组合的均值、方差和协方差（个别证券或资产的方差和协方差可以用因子模型进行分析）。这是因为投资组合期望收益和方差的计算公式中包含证券收益（不取决于概率分布的形式）的期望值、方差和协方差。以Ep表示投资组合的期望收益；Xi表示对投资组合中第i种证券的投资；Ei表示投资组合中第i种证券或资产组合的期望收益，则它们之间的关系可以表示如下。

无论收益分布服从正态分布，还是服从对称分布，也无须考虑收益分布是否服从厚尾分布，只要Ei存在且为有限的，式（2-7）就会成立。同样地，以Vp表示投资组合的方差，δij表示第i种证券和第j种证券收益即ri和rj的协方差，则投资组合的方差可以用如下公式计算。

无论投资组合的收益分布是对称分布还是厚尾分布，只要Vi存在且为有限的，式（2-8）就成立。

然而，投资者面对显性期望效用最大化时的情况是不同的。所以，投资者必须辨别收益组合的联合概率分布的分布类型，并且估计这种联合分布的相关参数。正如本书第5章阐述的那样，完成上述工作可能需要大量的研究工作。

与隐性期望效用最大化准则相比，运用显性期望效用最大化面临的第二个难题即决策者必须确定投资者的效用函数。正如冯·诺依曼和摩根斯特恩（1944）解释的那样：理论上，为了得到投资者的效用函数，我们应该通过让投资者回答一系列的问题：“投资者如何看待收益Ra的概率pa和收益Rc的概率（1-pa）以及其是否和各种收益中拥有令人满意的确定收益Rb恰好一样？”这对于机构投资者（像只有一个投资组合的慈善机构或养老基金机构）来讲是一个很大的挑战，但是对于代表着许多客户利益的金融顾问来讲，做一份详细而周密的投资计划似乎是不可能的。上述程序在隐性期望效用最大化过程中并不是必要的。

最后，运用隐性期望效用最大化准则的另外一个优势是，不需要向个体投资者、机构投资者的监管机构或者传统的金融顾问解释期望效用的概念。此外，投资组合的选择过程能够表示为我们熟知的风险和收益的形式。