收益效用和财富效用

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式（2-3）和式（2-4）假设投资者试图最大化log（1+R）的期望值，其中，R表示投资组合的在未来可预测时期的收益。3然而，假定投资者试图寻找使得期末财富Wt+1期望值最大化的一些函数族，那么期末收益和前期收益之间满足下列关系式：

在效用函数满足对数效用函数的条件下，投资组合不仅需要最大化Elog（Wt+1），同时也需要最大化Elog（1+R），根据式（2-9），可以得到：

在投资组合持有期间为t到t+1，Wt既定的条件下，log（Wt）是不变的。如第1章所述，如果效用函数U和效用函数V满足如下线性相关关系：

那么当概率分布函数实现期望效用（EU）最大时，期望方差（EV）也实现了最大化。式（2-10）说明无论投资者是选择log（1+R）最大化的投资组合，还是选择logWt+1最大化的投资组合，其最终选择的投资组合是一样的。

然后，考虑效用函数的幂函数函数形式，即

或者

例如

或者

在对数效用函数的情况下，幂函数形式的效用函数表示无论投资者将式（2-12a）和式（2-12b）中的X定义为Wt+1，还是（1+R），投资者所选择的概率分布都是相同的。因为，如下式：

若式（2-11）的条件得以满足，则当选择概率分布R（或Wt+1）时，Wt是确定的。

式（2-10）和式（2-13）表明：对于幂函数形式的效用函数或对数形式的效用函数来讲，投资组合的选择不依赖于投资期初的财富水平Wt，但这并不适用于所有的效用函数。尤其是指数形式的效用函数：

式（2-14）可以写作：

其中，b由Wt决定。后续部分我们会解释投资者运用指数形式的效用函数进行概率分布选择时对b的依赖性。

如果投资者的财富效用函数为式（2-14），并且持有期间不变，那么选择单期效用函数式（2-15）的投资者的效用函数将会从一个周期变化到下一个周期。这时运用均值-方差逼近没有任何困难，其基本假设U（R）随着时间的变化而变化，但是在每一个时间点期望效用（EU）都能够利用相关均值（E）和方差（V）的函数充分逼近，尤其是在U（R）随着投资者的年龄以及其财富而变化的情况。

Loistl的错误分析

Loistl（1976）题为《基于泰勒级数展开定理的期望效用的错误近似：分析和计算结果》的文章得出“均值-方差逼近方法根本不能得出一个好的效用的近似期望价值”（P.909）。Loistl之所以对均值-方差逼近得出这样否定的结论，原因是：如表2-1所示，投资组合的收益率为10%，表示为R=0.10，而不是R=10.0。尤其是，如果投资者的期初财富为Wt=$1000000并且投资组合的收益率为10%，那么根据式（2-9），期末财富为：

Wt+1=1000000×（1+0.10）=1100000

而不是：

Wt+1=1000000×（1+10）=11000000

Loistl假设效用U是随机变量y的函数［y代表投资者的财富（p.905）］，他以“收益率的百分数形式”为例，将收益率分别表示为-20，-10，…，30，40；然后，Loistl对比U（y）和不同的泰勒级数近似，包括满足X0=条件的二次项，对于y=-20，y=-10，…，y=40，与对数效用函数的限制条件y＞40进行对比。换句话说，Loistl将30%的投资收益率表示为R=30而不是R=0.3，因此，Loistl得出了以下结论：二次逼近不能很好地估计y的值，这与马科维茨（1959）的结论是一致的，即当收益率处于［-0.3，0.4］区间时，二次逼近可以很好地估计y的值。因为在计算投资者期末财富价值Wt+1时，投资组合的收益率必须表示为R=0.3而不是R=30，Loistl关于均值-方差逼近的否定结论原因在于其错误的分析而不是错误的逼近。