列维和马科维茨（1979）

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列维-马科维茨的研究有如下两个主要研究目的。

（1）运用均值-方差方法逼近各种效用函数和投资组合收益分布的优点；

（2）考察利用均值分布和方差分布估计期望效用的其他方法。

列维-马科维茨针对三种形式的R提供了多种二次逼近U的方法，其中，R表示为如下形式：

（E-kσ），（E），（E+kσ）

在方差逼近的过程中，列维-马科维茨选择了多个k值进行逼近，k近似等于：

k=0.01，0.1，0.6，1.0和2.0

其中，k=0.01的条件是最优的，其结果与式（2-2）中的近似结果基本相同。因此，我们可以将k=0.01时的结果作为式（2-2）计算结果的近似。

我们将列维-马科维茨的研究结果表述为表2-2，研究的样本包括4种不同的投资组合。表2-2的第1列分别表示不同的效用函数条件，第2列为基于1958~1967年149只共同基金的年收益率计算结果——所有共同基金在所有期间的收益报告在Wiesenberger（1941）的最新版本中都有体现。列维和马科维茨认为这149只共同基金的收益率序列是这149只共同基金的真实收益率分布。特别是，表2-2中第2列列示了期望效用和均值-方差逼近的最大化效用之间的相关系数，期望效用（EU）的计算方法如下：

并且，f（E，V）是均值-方差二次逼近的期望效用结果，在本例中选择k=0.01作为均值-方差逼近的效用函数。

表2-2　基于1958~1967年四种投资组合收益率分布的期望效用（EU）和均值-方差逼近的f0.01（E，V）的相关系数

如表2-2所示，a和b已知的条件下，效用函数通常可以表示为对数形式、幂函数形式和指数形式三种形式。对于指数效用函数和所有的幂函数形式效用函数而言，（这149只基金的收益率分布的）平均效用和平均效用的均值-方差逼近的相关系数至少为0.997，与运用均值-方差分析过程中需要前瞻性估计均值、方差和协方差或者进行准确的期望效用最大化分析过程中需要估计联合分布相比，这种方法更精确。列维和马科维茨认为：出于实用目的，对于这些效用函数和收益率分布来讲，期望效用（EU）和均值-方差逼近是很难区分的。此外，在指数效用函数的条件下，均值-方差逼近结果并不可靠（b=5，尤其是b=10的条件下）：

U=-exp［-b（1+R）］

我们将在本章的最后详细阐述这种指数效用函数。

表2-2中的其他两列表示列维和马科维茨报告的三种以上收益率序列的历史分布EU和f0.01之间的相关系数。表2-2中的第二个数据集表示1948~1967年美国普通股股票市场随机选择97只股票的年收益率分布的EU和f0.01之间的相关系数。当然，总的来说，均值-方差分析适用于投资组合而不适用于个股投资。然而，个股投资的年收益率要比投资组合的年收益率（见表2-2）波动性更大。和预期相一致，与共同基金组合相比，97只个股的EU和f0.01之间的相关系数比较低。例如，当U=log（1+R）时，97只个股的EU和f0.01之间的相关系数为0.880，而共同基金组合的EU和f0.01之间的相关系数则为0.997。

因为月收益率比年收益率的波动更小，所以，我们认为使用月收益率时的相关系数比使用年收益率时的相关系数更高，并且事实也是如此。使用月收益率的情况下，相同的97只股票的EU和f0.01之间的相关系数如表2-2第4列所示，例如，对于对数效用函数，97只个股股票月收益率的EU和f0.01之间的相关系数为0.995，97只个股股票年收益率的EU和f0.01之间的相关系数为0.880，而共同基金组合年收益率的EU和f0.01之间的相关系数则为0.997。总的来说，97只个股的月收益率和共同基金组合月收益率的EU和f0.01之间的相关系数是在同一水平上的。

如前所述，与高度多样化共同基金投资组合的年收益率相比，单一股票（即完全单一的投资组合）的年收益率的EU和f0.01之间的相关系数明显更小。表2-2的最后一列表明了“轻微多样化”投资组合（仅包含少数几只股票）的EU和f0.01之间的相关系数，尤其是，其表明了（从美国97只股票中不重复抽取）5只或6只股票的19种可能投资组合的年收益率的EU和f0.01之间的相关系数ρ0.01=0.998。对于对数效用函数，5只或6只股票的投资组合的年收益率的EU和f0.01之间的相关系数ρ=0.998，高于单一股票的ρ=0.880。一般来讲，5只或6只股票的投资组合的年收益率的EU和f0.01之间的相关系数ρ0.01=0.880和共同基金投资组合年收益率的EU和f0.01之间的相关系数是在同一水平的，在整个分析过程中，得出这样的结果是非常令人吃惊的。列维和马科维茨总结道：至少对我们研究期间内股票历史收益率的联合分布来讲，多元化程度较低的投资组合才是持久的选择。