高度厌恶风险投资者

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从列维-马科维茨研究中我们可以发现：当b=10时，指数效用函数值和其他效用函数值存在明显区别（见表2-2）。因此，本节中我们将探索这种结果产生的原因。

在E=0.10和σ=0.15的条件下，我们比较了指数效用函数和二次逼近QE［见（式2-2）］的值。变形后的效用函数形式如下：

U=-1000e-10（1+R）

经过变形，函数值U（0.5）和U（-0.3）的差异与R=0.5和R=-0.3条件下函数值log（1+R）（见表2-1）的差异具有相同的数量级别，即前者差异约为0.91，后者差异为0.41-（-0.36）=0.77。因为U（R）四舍五入后保留到小数点后两位，并且指数效用函数中的R≥0.3，所以表2-3中的数据保留到小数点后四位，而不是只保留到小数点后两位（见表2-1）。

表2-3中，第1列列示了R值，第2列列示了U（R）的值，第3列列示了二次逼近QE的值，第4列列示了效用U和二次项QE之间的差异，即dE（R）=U（R）-QE（R）。表2-3揭示了为什么二次逼近log（1+R）比逼近-exp［-10（1+R）］更准确。表2-1中，log（1+R）和QZ（R）之间最大的差值为0.02，表2-3中，将U变形为与log（1+R）（见表2-1）的可比形式，则当R=-0.3时，U（R）和QE的差值的绝对值为|dE|=0.69。所以，这种结果产生的直接原因即在QE不能很好地逼近U（R）的条件下，f（E，V）不能很好地逼近期望效用（EU），即在R=E的范围内，U（R）变化得非常快。在R=-0.30和R=0.10之间，效用从U（-0.30）=-0.912增加到U（0.10）=-0.017，大约增加了0.90。然而，当U≤0时，随着R的进一步增加，U的变化开始变得平缓。尤其是，在R=0.10和R=∞之间，U的增加值低于0.02。本质上讲，当R=E时，U（R）出现拐点。

表2-3　U=-1000e-10（1+R）、E=0.10和σ=0.15条件下指数效用函数和二次逼近的比较

列维和马科维茨发现：投资者的效用函数为-e-10（1+R）时，说明投资者对收益的概率具有特殊的偏好。因为所有的R均满足U（R）＜0，所以对所有的R而言，有：

0.5U（0.0）+0.5U（R）＜-0.0227＜U（0.1）

因此，投资者更加偏好于

具有确定的10%收益率的投资组合

而不是

50%的概率不会获得收益也不会遭受损失

以及50%的概率获得10%甚至更高的收益

换句话说，这种投资者更加偏好于具有确定的10%收益率的投资，而不是选择零收益和得到一张“空白支票”（VBC）的概率各为50%的投资。Markowitz、Reid和Tew（1994）发现：一个真正的投资者并不会拥有这样一张价值较低的“空白支票”。通过对经济业务客户的调查，他们发现，大部分投资者都拥有一张“空白支票”，即投资组合的50%高收益，其收益率的中位数为401%，表示为投资者财富的度量方法，该空白支票的价值高达财富总价值的143%，远远高于b=10指数效用函数形式下的情况。