看涨期权投资组合
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人们常说“当投资组合中包含收益率分布是非对称分布的证券，或均值-方差分析运用于收益率分布是非对称分布的投资组合，或证券的收益以非线性方式变动（例如，某些证券的效用函数和指数）时，均值-方差分析方法是不适用的”。Hlawitschka（1994）检验了均值-方差的有效性，并运用高阶近似方法计算看涨投资组合期望效用的近似值，在此基础上对前面提及的观点得出了相反的结论。
Hlawitschka使用10年期股票的月收益率度量其所选择的11个等量加权投资组合（每一个投资组合中都包含随机选择的20只股票）中包含的单独证券的收益率序列，并假设在布莱克-斯科尔斯期权定价模型基础上，买方行使期权权利时每一种股票的看涨收益率达到价外期权的5%。为了避免看涨期权期满时没有价值的事件发生，Hlawitschka选择的看涨期权投资组合的有效期位于T的10%位置。
Hlawitschka研究的主要成果如表2-5和表2-6所示。表2-5中，第1列列示了各种效用函数；第2列列示了普通股票投资组合的实际平均效用与泰勒级数二阶近似之间的斯皮尔曼秩相关系数；第3列列示了普通股票投资组合的期望效用（EU）与泰勒级数三阶近似之间的斯皮尔曼秩相关系数；最后两列列示了看涨期权投资组合的实际平均效用与泰勒级数二阶近似之间的斯皮尔曼秩相关系数以及看涨期权投资组合的期望效用（EU）与泰勒级数三阶近似之间的斯皮尔曼秩相关系数。
表2-5 E［U（W）］和泰勒级数近似之间的斯皮尔曼秩相关系数
表2-6 E［U（W）］和泰勒级数近似之间的相关关系
表2-5中关于股票投资组合的研究结果似乎比列维和马科维茨的研究结果更好一些。尤其是，第6种情况下的相关系数近乎完美，第7种情况下，指数效用函数的b=5时，斯皮尔曼秩相关系数超过了0.99。Hlawitschka的研究结果比列维和马科维茨的研究结果更优的原因在于：①Hlawitschka使用股票的月收益率度量股票的收益。在使用月收益率的条件下，即使是单独证券，均值-方差逼近结果和期望效用（EU）会非常接近（见表2-2）；②Hlawitschka使用斯皮尔曼秩相关系数，所以只要这11种投资组合的期望效用（EU）与其均值-方差逼近产生相同的级数，其秩相关系数就为1.0。运用斯皮尔曼秩相关系数，而不是像列维和马科维茨运用一般的皮尔逊相关系数的基本原理为：如果均值-方差逼近能够准确地反映投资组合收益率的概率分布，那么遵循此逼近而做出的投资选择也是准确的。
不出所料，表2-5中的最后两列表明运用二次逼近看涨期权投资组合的期望效用（EU）的结果没有运用二次逼近普通股票投资组合的期望效用（EU）好，但是结果也不是很糟糕：第5种情况下的相关系数超过了0.95；第6种情况下的相关系数超过了0.92；即使在棘手的指数b=5的情况下，相关系数也约为0.84。
表2-5中真正令人惊讶的是泰勒级数三阶近似的不可靠性。尤其是，表中所列的7种情况下，有5种情况的相关系数为负值！Hlawitschka进一步研究的结果体现在其研究的表5中，本书体现在表2-6中，并且Hlawitschka研究中的表6在本书中没有表述，但是我们引用了Hlawitschka从其表6中得出的研究结论。在表2-6中，第1列列示了效用函数，其余5列分别列示了泰勒级数二阶近似、泰勒级数三阶近似、泰勒级数四阶近似、泰勒级数五阶近似和泰勒级数六阶近似；前三行列示了个股投资组合（而不是投资组合）收益率的相关系数；余下三行列示了单独看涨期权收益率的相关系数。使用个股投资组合的月收益率时，二次逼近是非常好的方法，其秩相关系数均超过了0.998，并且高阶近似的可靠性更高。
表2-6的最后三行表明使用个股投资组合的月收益率比使用投资组合（90%单独看涨期权和10%短期国债构成）的月收益率条件下运用二次逼近的结果更准确。尤其是，三个秩相关系数大约为0.88、0.75和0.78。但是，三阶近似和五阶近似与期望效用（EU）呈负向相关关系，而四阶近似和六阶近似与期望效用（EU）呈正向相关关系但是有一组结果相比二阶逼近很差。
Hlawitschka总结如下。
值得注意的是，尽管序列可能最终聚合，但很难区分它们所属的部分；级数的聚合并不意味着序列中的数据迅速减小或个别数据小到足够被忽视。实际上，正如我们所阐述的那样：序列在最终聚合前都可能会出现偏离极限值的情况。因此，运用矩逼近的方法近似期望效用的有效性要以泰勒级数的前几项为基础，而不是由无限序列的聚合性质决定的。这是个经验问题，并且从经验上来讲，我们阐述的二阶矩逼近效用函数方法在投资组合选择决策过程中的运用是非常有效的。（Hlawitschka重点强调）
Ederington的二次型与高斯期望收益的渐近性质
Ederington（1995）的主要研究成果如表2-7所示［摘录自Ederington（1995）的表5］。Ederington将表中引用的序列定义为“半事前模拟收益率”，并强调列维和马科维茨研究中使用的历史收益率序列属于从一些陌生的人群中抽取的“事后”样本，从相同群体中抽取的其他可能的样本可能含有随机抽取的、比实际的历史收益率更极端的收益率，不利于二次逼近。Ederington的解决方案如下。
130只共同基金在1970~1979年的季度收益率数据来自于《威森伯格投资公司服务管理结果公告》。对每一只基金i而言，Ederington通过从40个季度收益率中随机选择4个季度收益率（r1，r2，r3，r4）的方式模拟10000年的收益率，计算公式如下：
（1+Ri）=（1+ri1）+（1+ri2）+（1+ri3）+（1+ri4）
表2-7 Ederington的“半事前模拟收益率”均值-方差逼近相关关系
上述程序类似于期望效用（EU）和均值-方差（MV）的“半事前”比较方法（与“事后”方法相反）。如果市场参与者持有的主观月收益率和抽取的季度收益率分布相似，那么研究区间内年收益率序列的概率分布应该逼近市场参与者持有的主观年收益率分布。
与列维和马科维茨的历史序列相比，Ederington的综合序列对均值-方差逼近更具有挑战性。但是，在更多细节上，表2-7中列示的效用函数无论在列维和马科维茨的实验中还是Ederington的实验中，其逼近效果都非常好。
表2-7中第1列列示了效用函数，其中包括列维和马科维茨研究中未涉及的细节；第2列和第3列列示了两种不同的均值-方差逼近的相关系数，其中，第2列以式（2-2）中的泰勒级数二级逼近为基础计算的；第1列的均值和方差函数是基于Ederington的“近似正态分布假设”而提出的。尤其是，Ederington的“近似正态分布假设”运用了泰勒级数四级逼近，而不是运用三阶和四阶矩近似
M3=E（R-E）3
M4=E（R-E）4
Ederington假设实际的概率分布为正态（高斯）分布，即
M3=0
M4=3V
Ederington对于实际概率分布的假设提出来只含有E和V的“四级逼近”的效用函数。
Kroll、Levy和Markowitz（1984）指出其研究运用的大部分收益率序列可能都不服从正态分布。Ederington针对此结论的观点主要是：实际的收益率分布并不恰好服从正态分布，但是效用函数也不恰好为二次形式，因此，将方法和相关数据分离，我们才可以得知哪一种逼近方法是最好的。
表2-7的最后一列列示了与期望效用（EU）相关的且运用实际概率分布M3和M4的泰勒级数四级逼近计算得到的期望价值f。为了方便读者阅读，Ederington的实验报告中列示了22种效用函数和期望效用（EU）的相关系数，本书从中选取的效用函数如下：Ederington的实验中涉及的22种效用函数，其中有14种其均值-方差逼近是基于本章式（2-2）的二次逼近为基础的，并且和期望效用（EU）的相关系数超过0.99；而在这14种效用函数中，有12种的均值-方差逼近是以近似正态分布为基础的，并且和期望效用（EU）的相关系数超过0.99，甚至其中4种情况的相关系数超过0.9999，另外两种情况（二次逼近的相关系数超过0.99）下，正态分布逼近和期望效用（EU）的相关系数四舍五入后的结果为0.98和0.96。因此，14种效用函数的均值-方差二次逼近结果非常好，近似正态逼近结果比较好，并且运用实际概率分布M3和M4的方法几乎没有改进的空间。
本书并未对均值-方差逼近和期望效用（EU）的相关系数低于0.99的情况进行分析，事实上，我们忽略了二次逼近和近似正态逼近与期望效用（EU）的相关系数超过0.98的情况，此外我们还有七项具有挑战性的情况，并且每一种情况都非常有趣。当三种逼近方法变得无效时：
（1）二次逼近比其他两种方法更糟糕；
（2）运用实际概率分布M3和M4条件下，近似正态逼近和四级逼近结果大致相同。
例如，对于指数效用函数-exp［-6（1+R）］，运用近似正态逼近/二次逼近和四级逼近的相关系数分别为：
0.95 0.85 0.94
而对应的指数-（1+R）-5值分别为：
0.47 0.23 0.48
通常来讲，随着b的增加，近似正态逼近比二次逼近的效果要好并且与运用实际概率分布M3和M4条件下的四级逼近一样好。因此，将我们的研究限制于Ederington的三级逼近期望效用条件下，考虑到矩逼近比均值-方差逼近更高的优势很小。对于具有中等大小VBC的效用函数而言，二次逼近的结果很好，并且四级逼近效果得到显著增强的空间也很小。然而，对于具有很低价值的VBC的效用函数而言，近似正态逼近和运用实际分布M3和M4的泰勒级数四阶逼近效果一样好。