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前面几节我们回顾了对我们目前理解期望效用（EU）的均值-方差逼近的最关键的步骤，其中包括：列维-马科维茨的观点，即“除极高风险规避型投资者（即极其低水平的VBC）外，期望效用的均值-方差逼近对许多标准的凹的效用曲线U（R）模拟结果是非常好的”；Simaan认为：如果均值-方差分析中存在无风险资产，那么这样的投资者的绩效也会更好；Hlawitschka的看涨期权投资组合的均值-方差逼近；Ederington的观点：即使不存在无风险资产和非常低的VBC的条件下，非基于二次逼近U（R）的均值和方差函数逼近效用函数的结果更好。然而，在这一过程中，我们忽略了很多具有重要贡献的学者，例如，这些学者的主要贡献是利用其他数据库或其他观点验证已有的研究成果，本节则试图补充遗漏之处。

Young和Trent（1969）是在马科维茨（1959）之后第一个探索各种均值-方差（以及更高阶数）逼近Elog（1+R）或几何平均值的学者。基于月度历史收益率序列，Young和Trent（1969）认为：马科维茨（1959）著作中二次逼近［见式（2-2）］和他们尝试的其他二次逼近方法结果一样好，但是更高阶级的逼近效果要差一点。

列维和马科维茨（1979）假设：如果EU和f（E，V）高度相关，那么f（E，V）可以提供最大化的期望效用（EU）的近似值。Kroll、Levy和Markowitz（1984）以随机选择的20只股票的历史收益率为研究对象，以均值-方差有效边界为基础，探索了如何缩小最大化的f（E，V）和真实的最大化的期望效用（EU）之间的距离，并且他们发现这种方法非常有效。

如何测量均值-方差逼近的有效性已经成为这个领域持续研究的主题，尤其是Dexter、Yu和Ziemba（1980）运用“风险-收益”价值的百分比差异作为衡量均值-方差逼近有效性的标准。Dexter等人认为在所有情况（和）下，均值-方差逼近的结果几乎相同，即最大化的风险-收益比均值-方差逼近效果稍好一点儿。

Hakansson（1971）探索了投资组合（由一种无风险资产和两种假设股票组成，其中，一种的收益率为100%的损失与15%的收益，另一种的收益率为15%的收益与165%的收益，这两种股票的收益率已经远远超出了表2-1中二次项的范围）的均值-方差逼近Elog（1+R）的有效性，因此，这种情况下，Hakansson发现均值-方差逼近是无效的一点也不奇怪。一般来讲，基于投资组合历史收益率的研究报告表明均值-方差逼近是有效的。运用这种人为设定的收益率分布（Loistl的极端情况）时，我们发现均值-方差逼近失效。

Grauer（1986）研究了投资者可以以无风险利率借款，且服从Sharpe-Lintner资本资产定价模型条件下［见Mossin（1966）］的均值-方差逼近幂函数形式或对数形式的效用函数的有效性。Grauer的研究结果表明：只有在额外施加均值-方差最优化形式以约束条件下，才能避免均值-方差逼近的失效。Simaan在公布研究结果之前，同样发现指数效用函数的指数b比表2-6中的b≥2更小条件下的均值-方差逼近效果比较差，Simaan观察到这种情况下的投资组合同时拥有很强的空头市场和多头市场。Simaan总结道，其研究中所运用的约束条件属于不存在解析解的非负性约束条件，并不会产生和b值相关的真实结果。

Pulley（1983）发现：

投资者期望对数效用函数实现效用最大化和投资者确定的（以证券收益率确定的经验分布为基础的）均值-方差函数实现最大化时，表明投资者持有的投资组合几乎相同。此外，Pulley发现，对于各种持有期间、各种非投资和投资的比率以及各种主观收益率分布形式，包括非正态分布的投资组合来讲，均值-方差逼近的效果都是稳健的。

本卷下面两章中，我们以表2-1为基础，详细阐述了比马科维茨（1959）均值-方差分析中使用的收益率分布更分散的收益率分布的确定的均值-方差逼近期望对数效用函数的有效性。

总结

现在，距离马科维茨（1959）第一次将均值-方差分析作为逼近最大化期望效用的实践方法已经过去了多半个世纪。从那时起，根据重复验证均值-方差逼近期望效用的有效性的观点，“大混乱”时代产生：“均值——只有当收益率分布服从高斯分布或效用函数的二次形式时，方差分析才能应用于实践中。”对于这一时代来说，这样的比喻似乎更为恰当，即将地球描述为一所房子，来自于1550年的地理教科书。