第3章 均值-方差的几何平均值逼近
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简介
通常，对收益率序列的总结和分析中需要给出收益率序列的“几何平均值”和算数平均值。一般来讲，如果收益率序列用n个非负数A1，…，An表示，那么它们的几何平均数定义为A1，…，An乘积的n次根，即
收益率序列A1，…，An的几何平均值和算数平均值（或普通平均值）不同，为了比较收益率序列几何平均值和算数平均值之间的区别，收益率序列的算数平均值定义为：
然而，通常情况下的新闻媒体和非学术的金融杂志中所谓的收益率的几何平均值和我们给出的收益率序列r1，r2，…，rn的几何平均值存在一定的区别（由于收益率可能为负值，因此这种情况下我们不可能获取收益率序列的几何平均值）。更确切地说，如果我们给出了序列gs来表示收益率序列的几何平均值，那么该序列应满足如下等式：
因此，当人们说收益率序列的几何平均值为10%时，意味着所说的收益率序列实际上指（1+收益率）序列，此时收益率序列几何平均值等于（1+0.1）=1.1。
关于收益率的几何平均值，我们可以用银行存款的例子来加以说明，首先，假定在期初存入一笔款项W0，此后一直到最终期限没有任何存取款的事件发生，银行每期计算利息gs并将利息累积到本金之中，最终的财富值可以用WT表示，将该笔存款视为一个投资组合，其收益率序列表示为r1，r2，…，rT。对于上述示例，我们可以计算T期之后，投资者的财富WT如下式：
式（3-2）表明：
式（3-4）中将收益率序列的连乘表示成一个固定收益率的n次方形式，该固定收益率就是我们所说的收益率序列的几何平均值。
结合式（3-3）和式（3-4），我们可以得出：
因此，我们可以推断：T时期到期的投资组合，其收益率列的几何平均值gs和实际收益率序列下，该投资组合所获得的最终财富值相同。尤其是，在式（3-5）中，我们计算投资组合的最终财富WT时，使用的是投资组合的几何平均值gs而非算数平均值As。同时式（3-5）也意味着，几何平均值gs可以表示一个投资组合的收益率序列的平均增长率，在经济理论中，也可以将几何平均值gs视为投资组合的内部报酬率。式（3-4）意味着我们需要知道每一时期的收益率序列，才可以计算投资组合的最终财富，而式（3-5）则将这一计算过程简化成用单一的几何平均值即可得到最终财富，这极度简化了计算的过程。
根据Hardy、Littlewood和Pólya（1999），若收益率序列的标准差远大于零，则有：
以及
这意味着在收益率标准差大于零的条件下，一个投资组合的收益率序列的算数平均值As大于该收益率序列的几何平均值，进一步来讲，若用算术平均值表示内部报酬率，则意味着内部报酬率的估计值被人为地夸大。
如果收益率序列R由n个概率相同的结果v1，…，vn构成，那么收益率序列的几何平均值gs可以根据类似于式（3-2）的形式被定义，即
然而，若收益率序列的概率分布并非由一系列相同的概率的结果构成，收益率的几何平均值该如何定义呢？为了解决这一问题，我们将式（3-2）左右两侧分别取对数，可以得到下式：
因此，（1+gs）的对数值是（1+收益率）对数值的平均值。类似地，我们可以定义：
因为式（3-8a）和式（3-8b）适用于以任何数为底的对数函数（包括自然对数loge和常用对数log10）。在本卷的以前章节中，我们曾经关注过对数收益率的均值-方差（MV）逼近Elog（1+R）［=Eloge（1+R）］效果，这一研究结果同样适用于式（3-8b）所给出的几何平均数g的均值和方差逼近结果。
如果收益率序列r1，r2，…，rT相互独立，则根据“大数定律”有下式：
因此，gs→g依概率1.0收敛（具体见Breiman，1960）。从式（3-5）、式（3-8b）和式（3-9）中，我们可以看出：“从长期来看，一个投资组合最终将获取其几何收益率的回报而非其算术收益率的回报。”
本章内容包括收益率的几何平均值和g及其运用均值-方差逼近g的比较内容。与第2章不同，本章涉及的算数平均值和几何平均值并未检验均值-方差逼近的有效性。此外，投资者计算收益率序列的算数平均值、几何平均值以及标准差是因为其对于收益率本身感兴趣，并且对收益率序列的算数平均值和几何平均值只是进行常规的计算。尤其是，我们认为应该运用两组收益率序列来验证均值-方差逼近几何平均值g的有效性，其中，第一组数据由资产组合的历史收益率构成并广泛应用于资产配置决策；第二组数据包括20世纪期间16个国家的股票市场的实际收益率，具体见Dimson等（2002）。
如第2章阐述的那样，本章除了阐述效用函数的逼近的一般方法外，还要验证均值-方差逼近尤其是逼近几何平均值g的有效性。后面我们会解释道：均值-方差分析输入和输出过程必须估计收益率序列的算数平均值和几何平均值。然而，投资者或投资顾问应该获得收益率序列的几何平均值估计，并将几何平均值作为投资组合的“长期收益率”。因此，本章选用以下三种方法检验均值-方差逼近的有效性：第一，均值-方差逼近期望效用的有效性的进一步检验，在这种情况下，通过式（3-8b）逼近对数效用函数的期望值；第二，（历史收益率序列）是否可以运用均值-方差分析过程中的算数平均值和方差合理地估计投资组合收益率序列的几何平均值；第三，他们认为历史上均值-方差逼近g的6种方法是最有效的。本卷第4章中，我们进行了均值-方差逼近的有效性和以经常被提及的风险替代方法为基础的近似的逼近方法之间的比较分析。
为什么必须使用算数平均值计算均值-方差
计算最优的均值-方差必须使用（对预期的估计）期望（即算数平均）收益率而不是（对预期的估计）收益率的几何平均值，这是因为本卷第2章中的式（2-7）表明，随机变量的加权和的期望值（算数平均数）即为这些随机变量期望值的加权和，但是这些随机变量的加权和的几何平均值并不是这些随机变量几何平均值的加权和。
我们用下面的例子来阐述随机变量的几何平均值之间的这种非线性关系。
表中前两列列示了收益率分布R的概率和可能收益，即获得95%的收益和遭受5%的损失的概率均为50%；第3列列示了10倍的收益率10R，即第2列所示的收益率在10倍杠杆作用下获得可能收益的概率（利息费用为零），当E（R）=0.02时，收益率序列的几何均值-收益率为：
10倍杠杆作用下，E（10R）=10E（R），但是：
即在10倍杠杆作用下，收益率序列的10R的算数平均值是10倍的R，但是其几何平均值则变成了负值。
上文表明，收益率序列的几何均值g不是所持有投资组合的线性函数：在这种情况下，g（10R）≠10g（R）。在普遍意义上，如果，是几只股票或几种资产的收益率序列几何平均值的估计值，仅仅根据这一条信息，我们无法推断这些资产组合的投资组合的增长率。尤其是，投资组合的增长率g（∑Xiri）要大于持有的投资组合的加权平均值∑Xig（ri）。Fernholz和Shay（1982）将这种差异称作投资组合的“超速增长”，并且认为这种“超速增长”可以用单独的协方差矩阵函数逼近。
现在，我们思考各种历史收益率序列的算数均值和方差的6种不同的函数逼近几何均值的情形。