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风险-收益分析:理性投资的理论与实践
几何收益率g的6种均值-方差逼近
书籍名:《
风险-收益分析:理性投资的理论与实践
》 作者:
哈里·马科维茨
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《风险-收益分析:理性投资的理论与实践》几何收益率g的6种均值-方差逼近,页面无弹窗的全文阅读!
表3-1给出了美国多种资产组合的统计数据,该数据包括美国、发达的非美国市场(EAFE)和新兴市场(EM)三种市场类型,其中,美国数据引自伊博森公司(2010)报告,非美国市场(EAFE)数据引自晨星公司的相关软件,新兴市场(EM)同样引自晨星公司的相关软件;在本章下一节中,即表3-4则给出了16个国家股票市场在101年间的股票市场实际收益率的相同统计数据,数据期间为1900~2000年,数据来源为Dimson、Marsh和Staunton(2002)的报告。通常情况下,我们用名义收益率表示投资组合的收益率,因此,表3-1中关于收益率的统计数据都是基于名义收益率而报告的。然而,表3-4中我们给出的是实际收益率而非名义收益率,这样做的原因是,1900~2000年,德国曾经发生过恶性通货膨胀,尤其是1923年德国股票市场的名义收益率达到3100亿/100,即3100000000倍。在这种情况下,最重要的问题不是投资组合的收益率是否以10亿/100的增长率增长,而是其是否和通货膨胀的增长保持一致。1
在表3-1和表3-4中,第一列列示了收益率系列的名称;第2~4列分别列示了收益率序列的算术平均值、标准差和几何平均值;第5~10列分别列示了6种不同的均值-方差逼近g的结果;第11~16列分别列示了6种不同的均值-方差逼近g的结果(表中第5~10列数据)和几何平均值的实际值(表中第4列数据)的差异。表中的第11~16列的底部列示了如下的样本统计量,即
表3-1 各种美国、远东地区和东地中海地区收益率指数的几何平均值逼近
资料来源:Morningstar's Stocks,Bonds,and Infl ation and Morningstar's EnCorr.
(1)均值-方差逼近的平均误差;
(2)均值-方差逼近的平均绝对误差;
(3)均值-方差逼近的最大绝对误差;
(4)均值-方差逼近的最小误差或并列的最小误差的次数。
表3-1中的阴影部分表示的是该收益率序列的均值-方差逼近出现最小误差或并列最小误差的次数。
表3-1中列示的6种均值-方差逼近函数分别定义为Q0、QE、EDD、LMT、NLN和HL,同样地,运用这6种不同的方法计算出的g的近似值分别定义为gQ0、gQE、gEDD、gLMT、gNLN和gHL等。本节的剩余部分将会详细阐述这六种不同的均值-方差逼近函数。
表3-1和表3-4的第5列和第6列列示了两种均值-方差逼近函数Q0和QE,这两种均值-方差逼近函数是对本卷第2章中的式(2-5)和式(2-6)进行变换得到的,即对本卷第2章中的式(2-5)和式(2-6)两个逼近Elog(1+R)的函数取幂函数值[马科维茨(1959)第6章],即
(当然,在当前的计算中,E代表的是历史均值而不是期望值。)
表3-1和表3-4中的第7列的EDD逼近函数为:
式(3-10c)是Ederington(1995)提出的四阶逼近Elog(1+R)的指数函数形式,根据本卷第2章的内容,我们假设
E(R-ER)3=0
E(R-ER)4=3V2
服从正态分布,则第8列的逼近g的结果为:
式(3-10d)相对比较简单,在假设式(3-10a)中的E2和g2可以忽略不计的条件下,式(3-10d)经常被用作“封底计算”[1],尤其是,其通过对g逼近log(1+g)。我们将式(3-10d)作为LMT(有限)逼近,因为在持有期间间隔Δt趋近于零的条件下,式(3-10d)的逼近结果通常是正确的。
表3-1和表3-4中的第9列的逼近结果表明了log(1+R)为正态分布条件下g的取值情况,即2
我们将式(3-10e)作为NLN(近似对数)逼近函数。
表3-1和表3-4中的第10列表明在相同分布具有两种可能收益的条件下,作为E和V函数的g的状态,尤其是:
因为:
Jean和Helms(1983)将其(均值-方差逼近g)归因于Henry Latané,因此,我们将其作为HL逼近函数。3
式(3-10a)~式(3-10f)逼近公式的输入值和输出值为小数形式(如0.06)而不是百分数形式(如6.0),然而,为了便于理解,其在表3-1和表3-4中的报告值为百分数形式。
[1] 封底计算:英文为“back-of-the-envelope calculations”(BotEC)。1945年,由诺贝尔物理学奖获得者Enrico Fermi创造,指用简单到可以在手边随便的什么小纸片(比如信封的背面上进行的计算),对复杂的方程做同一数量级内的近似求解。——译者注
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