几何收益率g的6种均值-方差逼近

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表3-1给出了美国多种资产组合的统计数据，该数据包括美国、发达的非美国市场（EAFE）和新兴市场（EM）三种市场类型，其中，美国数据引自伊博森公司（2010）报告，非美国市场（EAFE）数据引自晨星公司的相关软件，新兴市场（EM）同样引自晨星公司的相关软件；在本章下一节中，即表3-4则给出了16个国家股票市场在101年间的股票市场实际收益率的相同统计数据，数据期间为1900~2000年，数据来源为Dimson、Marsh和Staunton（2002）的报告。通常情况下，我们用名义收益率表示投资组合的收益率，因此，表3-1中关于收益率的统计数据都是基于名义收益率而报告的。然而，表3-4中我们给出的是实际收益率而非名义收益率，这样做的原因是，1900~2000年，德国曾经发生过恶性通货膨胀，尤其是1923年德国股票市场的名义收益率达到3100亿/100，即3100000000倍。在这种情况下，最重要的问题不是投资组合的收益率是否以10亿/100的增长率增长，而是其是否和通货膨胀的增长保持一致。1

在表3-1和表3-4中，第一列列示了收益率系列的名称；第2~4列分别列示了收益率序列的算术平均值、标准差和几何平均值；第5~10列分别列示了6种不同的均值-方差逼近g的结果；第11~16列分别列示了6种不同的均值-方差逼近g的结果（表中第5~10列数据）和几何平均值的实际值（表中第4列数据）的差异。表中的第11~16列的底部列示了如下的样本统计量，即

表3-1　各种美国、远东地区和东地中海地区收益率指数的几何平均值逼近

资料来源：Morningstar's Stocks，Bonds，and Infl ation and Morningstar's EnCorr.

（1）均值-方差逼近的平均误差；

（2）均值-方差逼近的平均绝对误差；

（3）均值-方差逼近的最大绝对误差；

（4）均值-方差逼近的最小误差或并列的最小误差的次数。

表3-1中的阴影部分表示的是该收益率序列的均值-方差逼近出现最小误差或并列最小误差的次数。

表3-1中列示的6种均值-方差逼近函数分别定义为Q0、QE、EDD、LMT、NLN和HL，同样地，运用这6种不同的方法计算出的g的近似值分别定义为gQ0、gQE、gEDD、gLMT、gNLN和gHL等。本节的剩余部分将会详细阐述这六种不同的均值-方差逼近函数。

表3-1和表3-4的第5列和第6列列示了两种均值-方差逼近函数Q0和QE，这两种均值-方差逼近函数是对本卷第2章中的式（2-5）和式（2-6）进行变换得到的，即对本卷第2章中的式（2-5）和式（2-6）两个逼近Elog（1+R）的函数取幂函数值［马科维茨（1959）第6章］，即

（当然，在当前的计算中，E代表的是历史均值而不是期望值。）

表3-1和表3-4中的第7列的EDD逼近函数为：

式（3-10c）是Ederington（1995）提出的四阶逼近Elog（1+R）的指数函数形式，根据本卷第2章的内容，我们假设

E（R-ER）3=0

E（R-ER）4=3V2

服从正态分布，则第8列的逼近g的结果为：

式（3-10d）相对比较简单，在假设式（3-10a）中的E2和g2可以忽略不计的条件下，式（3-10d）经常被用作“封底计算”[1]，尤其是，其通过对g逼近log（1+g）。我们将式（3-10d）作为LMT（有限）逼近，因为在持有期间间隔Δt趋近于零的条件下，式（3-10d）的逼近结果通常是正确的。

表3-1和表3-4中的第9列的逼近结果表明了log（1+R）为正态分布条件下g的取值情况，即2

我们将式（3-10e）作为NLN（近似对数）逼近函数。

表3-1和表3-4中的第10列表明在相同分布具有两种可能收益的条件下，作为E和V函数的g的状态，尤其是：

因为：

Jean和Helms（1983）将其（均值-方差逼近g）归因于Henry Latané，因此，我们将其作为HL逼近函数。3

式（3-10a）~式（3-10f）逼近公式的输入值和输出值为小数形式（如0.06）而不是百分数形式（如6.0），然而，为了便于理解，其在表3-1和表3-4中的报告值为百分数形式。

[1] 封底计算：英文为“back-of-the-envelope calculations”（BotEC）。1945年，由诺贝尔物理学奖获得者Enrico Fermi创造，指用简单到可以在手边随便的什么小纸片（比如信封的背面上进行的计算），对复杂的方程做同一数量级内的近似求解。——译者注