不同类别资产的观测近似误差

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表3-1和表3-4中列示的逼近绝对误差出现了超过1个百分点的情况，这种情况只出现一次，即在表3-1中，对于小盘股市场收益率序列（误差=-1.6%）和新兴市场收益率序列（误差=-2.2%），同时，在6种不同的逼近方法中，Q0逼近方法是唯一一个在V=0条件下所有E值都不正确的方法。Q0是历史价值，该方法最早由马科维茨（1959）提出，马科维茨（1959）同时提出了QE方法，并将两者同时作为均值-方差逼近期望效用的方法，在马科维茨（1959）中，Q0和QE方法是其证明均值-方差分析方法有效的证据。此外，因为Q0来源于式（3-11a），所以Q0具有一定的解释能力，其存在具有一定的价值：

Q0的来源公式比QE的来源公式更简单，QE的来源公式为式（3-11b）：

然而，如前所述，Q0并不适合运用于实践中，所以，关于均值-方差逼近几何平均值的进一步分析中，我们不再分析Q0的情况。

图3-1描述了表3-1第3栏中的第12~16列列示的几何均值逼近的逼近误差和标准差（如果图3-1中包含了Q0的逼近误差和标准差，那么图3-1中应该对Q0逼近的最大误差进行了重新调整），并且，因为图3-1中对表3-1中所示的数据进行了四舍五入，所以图3-1和表3-1所表示的逼近误差有所不同。

图3-1　各种资产组合收益率序列的逼近误差和标准差

表3-1中列示的收益率序列的算数平均值、标准差和几何平均值保留到小数点后一位，但这种做法是合理的，因为以百分比形式报告这些数值且精确到小数点后两位比在实践中运用均值-方差分析所期望得到的精确度要更高一些。在表3-1中，几何均值逼近的估计值和逼近误差的报告值也只保留到小数点后一位，但是运用Excel软件计算这些数值时会保留多位小数，图3-1则描绘了这些逼近误差的分布情况。

表3-2以标准差为划分标准，将逼近误差分为三个区域分别列示；此外，表3-2中还包含每一收益率序列（行数据）和每一种逼近方法（列数据）的摘要数值，尤其是，表3-2中每一列的最后一行列示了每一种逼近方法的平均逼近误差（Avg）、平均逼近绝对误差（Avg Abs）和最大逼近绝对误差（Max Avg），并且列示了根据不同逼近方法计算的每一收益率序列（行数据）几何均值的平均逼近误差、最小逼近误差（Min）、最大逼近误差（Max）=几何平均值估计值-几何平均值的实际值，以及逼近误差的范围，即最大逼近误差和最小逼近误差之差（最大逼近误差-最小逼近误差）。

表3-2　根据标准差分三个区域列示表3-1中的误差

注：由于表中列示的是四舍五入后的结果，所以总计数与误差和实际值之间存在一定偏差。

图3-1表明随着标准差的增大，逼近误差的范围也在逐渐扩大，这是一种数学关系而不是一种经验关系：如果运用两种均值-方差逼近几何平均值的结果分别为f和h，并且收益率序列s的算数平均值、方差和几何平均值分别为Es、Vs和gs，那么f和h的逼近误差的差异值可计算如下：

这是一个包含收益率序列的算数平均值和方差的公式，但公式中并不包含观测值gs。图3-1的经验证据表明：在收益率序列的标准差比较小的条件下，对表3-1中列示的资产组合收益率序列而言，5种逼近方法（除Q0外）的逼近效果都非常好，即逼近结果四舍五入后保留到1%收益率的1/10（即0.1%）时，逼近误差为0；然而，当收益率序列的标准差比较高时，运用表3-1中列示的5种方法估计的几何均值g的范围逐渐扩大：某些方法高估了实际的g或低估了实际的g。

对于图3-1中的收益率序列而言，HL方法的逼近效果是最优的。对具有较高标准差和明显较高的估计范围的收益率序列而言，常常运用的是中位数估计（具体原因在下节阐述）。当观测值的结果四舍五入后保留至1%的0.1（即0.1%）时，表3-1列示的9种情况下，运用HL方法时有8种情况的逼近结果和实际的g非常接近，并且运用HL方法逼近的最大绝对误差为1%的0.2（即0.2%），小于运用其他方法逼近的最大绝对误差。

表3-3描述了5种逼近方法（除Q0外）的逼近误差的绝对值情况。从表3-3中我们可以看出：在大多数情况下，5种方法逼近的绝对误差四舍五入后的结果为1%的0.3（即0.3%）或者更小；此外，有4种情况下的绝对误差四舍五入后的结果处于1%的0.5（即0.5%）至1%的0.8（即0.8%）之间。观察表3-3，我们可以看出：表3-3列示的9种情况下，运用HL方法逼近的绝对误差为0.0的有7种，并且（如前所述）没有一种情况下的绝对误差超过1%的0.2（即0.2%）。上述成果是不寻常的，因为通常情况下，为了得出准确的逼近结果，我们假设收益率分布为右偏分布且为尖峰分布，然而HL逼近方法对于呈现对称分布和最小峰度特征（即尽可能的呈现低峰态分布）的收益率分布的逼近结果也恰好是准确的。

表3-3　表3-1中各种逼近方法的逼近误差的频数

如前所述，对于表3-1和图3-1中的收益率序列而言，HL逼近方法都是最优的；此外，EDD逼近方法是次优的，运用EDD方法时，6种情况下的绝对误差为0，并且没有一种情况下的绝对误差超过1%的0.3（即0.3%）。如果EDD方法是次优的，那么QE方法则是第三优的，除一种情况（新兴市场）下的绝对误差四舍五入后的结果为1%的0.5（即0.5%）外，其他情况下的绝对误差四舍五入后的结果为1%的0.2（0.2%）或低于1%的0.2（0.2%）。

运用NLN方法情况下，无论逼近误差四舍五入后的结果为0.0还是为正值，都表明NLN方法高估了实际的g，并且在新兴市场条件下，NLN方法的估计误差为1%的0.7（即0.7%）；运用LMT方法情况下，无论逼近误差四舍五入后的结果为0.0还是为负值，都表明LMT方法低估了实际的g；在小盘股市场和新兴市场条件下，LMT方法分别低估了实际g的1%的0.7（即0.7%）和1%的0.8（即0.8%）。所以，对表3-1中的收益率序列而言，LMT方法是所有逼近方法中最不好的，而NLN方法则位于倒数第二的位置。