各种逼近方法之间的联系

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对表3-1列示的所有收益率序列而言，其逼近结果值排序如下：

首先，对于具有有限方差（同时具有有限均值）的收益率序列而言，不等式（3-12）中的前两个不等式，即gNLN≥gQE≥gHL都是成立的，除非收益率分布的方差为0（运用3种方法的估计值相同），否则上述不等式的关系（＞）是比较强的；其次，只要我们讨论的收益率分布的期望收益率E和标准差δ满足δ＜0.93（1+E）的条件，则不等式（3-12）中的第3个不等式gHL≥gEDD就成立，并且即使是在以上四种不同数据来源的统计结果中，最异常的条件下，上述条件［σ＜0.93（1+E）］通常都是满足的；最后，一般情况下，不等式（3-12）中的第4个不等式，即gEDD≥gLMT是不符合实际情况的（实际上，其与DMS样本数据中的3种分布的实际情况不相符）。

本节的后续部分根据之前对于不等式（3-12）的相关讨论，基于DMS数据集，继续讨论了5种逼近方法（除Q0外）的有效性。

为了验证5种逼近方法的有效性，将式（3-10）（除Q0外）中的每一个公式表示为逼近log［（1+g）/（1+E）］的形式是有用的。根据这些公式的定义，我们可以推出下面的公式：

除gLMT［即式（3-13c）］外，式（3-13a）~式（3-13e）是由下面的公式决定的，即

或者，更为直接地，是由X的平方所决定的，即

此外，gLMT［即公式（3-13c）］取决于公式：

或者，更为直接地，是由的平方所决定的，即

我们知道，当收益率分布服从对数正态分布时，gNLN的估计结果完全正确；并且当收益率分布包含的两种可能收益相同时，gHL的估计结果也完全准确。由于上述条规则是根据式（3-14a）中的X而不是式（3-14c）得出的，就像gQE是基于R=E范围内的泰勒级数逼近而得到的，因此，逼近（1+g）/（1+E）作为σ/（1+E）的函数要优于作为的函数，然后在QE、EDD、NLN和HL（不考虑LMT）之间寻找一个更好的逼近方法似乎是合理的。此外，因为后续的非常简单的封底计算，在检验QE、EDD、NLN和HL之间的关系之后，我们会检验LMT和其他方法之间的关系。

根据式（3-14b）给出的Y的定义，我们可以将式（3-13a）、式（3-13b）、式（3-13e）和式（3-13d）表达如下：

很明显

只有当Y=0时，gQE=gEDD才成立，此时σ=0。因为-log（1+Y）是凸函数，log（1-Y）是凹函数，且Y为负值，也因为-log（1+Y）和-log（1-Y）的值相同，且等于Y=0条件下的它们第一个派生函数的值，因此

-log（1+Y）≥Y≥log（1+Y）

当Y=0时，-log（1+Y）=Y=log（1+Y）成立，这表明：

且只有当σ=0时，gNLN≥gQE≥gHL成立。

图3-2描绘的是QE、EDD、NLN和HL分别作为X=σ/（1+E）的函数时的图像。不等式（3-16）解释了取决于X的4种方法逼近结果的排序问题，除了HL逼近结果是否总是高于EDD，或者有时小于EDD（见图3-1）。图3-2显示：当X=σ/（1+E）=0.93（四舍五入后保留到小数点后两位）时，gHL曲线穿过了gEDD曲线。因为表3-1和表3-4中列示的最大值为新兴市场的X值，此时X=0.31，所以，实践中我们可以假设：如果投资组合的收益率序列的几何均值g能够通过估计得到，那么。因此，对所有相关情况而言，4种逼近方法的排序为：

图3-2　各种均值方法逼近（1+g）/（1+E）和标准差/（1+E）

因为运用LMT方法时，（1+g）/（1+E）为式（3-14c）中X的函数，而不是式（3-14a）中X的函数，所以在图3-2无法绘制LMT逼近方法的图像。图3-3描绘的是：σ不变的条件下，随着E的变化，LMT逼近方法和其他方法的比较结果，尤其是，图3-3中描绘了σ=0.2的条件下，作为E的函数的5种逼近g的方法的（E-approx.to g）的情况。对LMT方法而言，（E-approx.to g）为一个常数，因为：

与此相反，对其他4种逼近方法而言4：

图3-3　标准差等于0.2条件下的各种逼近方法逼近的E和实际均值E之间的关系

如图3-3所示，当E=0时，运用LMT逼近方法时，从E中减去的g值要高于NLN方法和QE方法逼近的g值，而小于HL方法和EDD方法逼近的g值；因此，LMT方法的逼近结果小于前两种方法（NLN和QE）的逼近结果，而大于后两种方法（HL和EDD）的逼近结果。随着E＜0，直接取决于σ/（1+E）的4种方法从E中减去的g值逐渐增加，尤其是，E＜-0.05时，LMT逼近方法要优于其他逼近方法；而E＞-0.05时，LMT方法的值低于其他方法的逼近的估计值。最后，如果因变量Y逼近于实际的g，那么gLMT的封底计算逼近结果实质上低估了“有趣的”水平上的条件下的g，即E＞0.05。