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风险-收益分析:理性投资的理论与实践
各种逼近方法之间的联系
书籍名:《
风险-收益分析:理性投资的理论与实践
》 作者:
哈里·马科维茨
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《风险-收益分析:理性投资的理论与实践》各种逼近方法之间的联系,页面无弹窗的全文阅读!
对表3-1列示的所有收益率序列而言,其逼近结果值排序如下:
首先,对于具有有限方差(同时具有有限均值)的收益率序列而言,不等式(3-12)中的前两个不等式,即gNLN≥gQE≥gHL都是成立的,除非收益率分布的方差为0(运用3种方法的估计值相同),否则上述不等式的关系(>)是比较强的;其次,只要我们讨论的收益率分布的期望收益率E和标准差δ满足δ<0.93(1+E)的条件,则不等式(3-12)中的第3个不等式gHL≥gEDD就成立,并且即使是在以上四种不同数据来源的统计结果中,最异常的条件下,上述条件[σ<0.93(1+E)]通常都是满足的;最后,一般情况下,不等式(3-12)中的第4个不等式,即gEDD≥gLMT是不符合实际情况的(实际上,其与DMS样本数据中的3种分布的实际情况不相符)。
本节的后续部分根据之前对于不等式(3-12)的相关讨论,基于DMS数据集,继续讨论了5种逼近方法(除Q0外)的有效性。
为了验证5种逼近方法的有效性,将式(3-10)(除Q0外)中的每一个公式表示为逼近log[(1+g)/(1+E)]的形式是有用的。根据这些公式的定义,我们可以推出下面的公式:
除gLMT[即式(3-13c)]外,式(3-13a)~式(3-13e)是由下面的公式决定的,即
或者,更为直接地,是由X的平方所决定的,即
此外,gLMT[即公式(3-13c)]取决于公式:
或者,更为直接地,是由的平方所决定的,即
我们知道,当收益率分布服从对数正态分布时,gNLN的估计结果完全正确;并且当收益率分布包含的两种可能收益相同时,gHL的估计结果也完全准确。由于上述条规则是根据式(3-14a)中的X而不是式(3-14c)得出的,就像gQE是基于R=E范围内的泰勒级数逼近而得到的,因此,逼近(1+g)/(1+E)作为σ/(1+E)的函数要优于作为的函数,然后在QE、EDD、NLN和HL(不考虑LMT)之间寻找一个更好的逼近方法似乎是合理的。此外,因为后续的非常简单的封底计算,在检验QE、EDD、NLN和HL之间的关系之后,我们会检验LMT和其他方法之间的关系。
根据式(3-14b)给出的Y的定义,我们可以将式(3-13a)、式(3-13b)、式(3-13e)和式(3-13d)表达如下:
很明显
只有当Y=0时,gQE=gEDD才成立,此时σ=0。因为-log(1+Y)是凸函数,log(1-Y)是凹函数,且Y为负值,也因为-log(1+Y)和-log(1-Y)的值相同,且等于Y=0条件下的它们第一个派生函数的值,因此
-log(1+Y)≥Y≥log(1+Y)
当Y=0时,-log(1+Y)=Y=log(1+Y)成立,这表明:
且只有当σ=0时,gNLN≥gQE≥gHL成立。
图3-2描绘的是QE、EDD、NLN和HL分别作为X=σ/(1+E)的函数时的图像。不等式(3-16)解释了取决于X的4种方法逼近结果的排序问题,除了HL逼近结果是否总是高于EDD,或者有时小于EDD(见图3-1)。图3-2显示:当X=σ/(1+E)=0.93(四舍五入后保留到小数点后两位)时,gHL曲线穿过了gEDD曲线。因为表3-1和表3-4中列示的最大值为新兴市场的X值,此时X=0.31,所以,实践中我们可以假设:如果投资组合的收益率序列的几何均值g能够通过估计得到,那么。因此,对所有相关情况而言,4种逼近方法的排序为:
图3-2 各种均值方法逼近(1+g)/(1+E)和标准差/(1+E)
因为运用LMT方法时,(1+g)/(1+E)为式(3-14c)中X的函数,而不是式(3-14a)中X的函数,所以在图3-2无法绘制LMT逼近方法的图像。图3-3描绘的是:σ不变的条件下,随着E的变化,LMT逼近方法和其他方法的比较结果,尤其是,图3-3中描绘了σ=0.2的条件下,作为E的函数的5种逼近g的方法的(E-approx.to g)的情况。对LMT方法而言,(E-approx.to g)为一个常数,因为:
与此相反,对其他4种逼近方法而言4:
图3-3 标准差等于0.2条件下的各种逼近方法逼近的E和实际均值E之间的关系
如图3-3所示,当E=0时,运用LMT逼近方法时,从E中减去的g值要高于NLN方法和QE方法逼近的g值,而小于HL方法和EDD方法逼近的g值;因此,LMT方法的逼近结果小于前两种方法(NLN和QE)的逼近结果,而大于后两种方法(HL和EDD)的逼近结果。随着E<0,直接取决于σ/(1+E)的4种方法从E中减去的g值逐渐增加,尤其是,E<-0.05时,LMT逼近方法要优于其他逼近方法;而E>-0.05时,LMT方法的值低于其他方法的逼近的估计值。最后,如果因变量Y逼近于实际的g,那么gLMT的封底计算逼近结果实质上低估了“有趣的”水平上的条件下的g,即E>0.05。
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