20世纪实际的权益报酬率
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表3-4和图3-4给出了16个国家在整个20世纪的统计信息，该统计信息与表3-1和图3-1给出的统计信息完全一致，表3-4和图3-4给出的是20世纪中人们普遍持有的资产组合的信息。表面来看，图3-4中包含的某些收益率序列与图3-2中给出的结果似乎是不一致的，这是因为图3-4中的某些资产组合大幅收益率序列的标准差完全相同或几乎相同。尤其是，在表3-5中我们可以更加清晰地看到：图3-4中包含标准差分别等于20.0、20.1和20.2的收益率序列，并且还包括标准差等于22.8的三种收益率序列，在表3-5中，我们会像分析表3-2一样具体分析这个问题。尤其是，表3-5中列示的标准差等于20.0、20.1和20.2的三种收益率序列的逼近范围（Max-Min）分别等于0.188、0.168和0.211，并且每一种收益率序列的逼近范围四舍五入后的结果均为1%的0.2（即0.2%）。然而，这三种收益率序列的逼近的估计值中最小值为-0.42，最大值为0.17，在图3-4中显示的范围为0.59，因此，很明显地，当比较图3-4和图3-1时，最好排除图3-4中包含的标准差在20.0和20.2之间的三种收益率序列以及三种标准差等于22.8的收益率序列。
表3-4 各种实际国际收益率指标的几何均值逼近
①瑞士的数据来自于1911年。
资料来源：Dimson，Marsh，and Stauton（2002），Table 4.3，p.60.
图3-4 20世纪普通股股票市场实际收益率的逼近误差和标准差
图3-1中包含4种固定收益率序列和1个通货膨胀序列，这5种序列的标准差均低于10%，此外，还包括4种标准差均超过20%的普通股收益率序列。图3-4中只包含标准差超过17%的普通股收益率序列，因此，当比较图3-4和图3-1时，最好排除图3-1中包含的5种标准差比较低的收益率序列。
对图3-1中的每一种普通股收益率序列而言，运用图中5种逼近方法逼近括号中的实际几何均值的结果显示：NLN方法的逼近的估计值最高，并且总是高估实际的几何平均值；LMT方法的逼近的估计值最低，并且总是低估实际的几何平均值；HL方法的逼近的估计值为中值估计值，并且其绝对误差四舍五入后的结果为1%的0.2甚至更低。然而，对图3-4中的收益率序列而言，运用5种方法逼近括号中的几何平均值的结果并不是这样，如表3-5中的“最大值”列所示：对标准差为20.0、20.1和20.2的收益率序列而言，运用NLN逼近方法的估计值总是低估实际的几何平均值；因此，运用其他逼近方法逼近的估计值会进一步低估实际的几何平均值，表3-4中列示的16种收益率序列有7种情况下，5种逼近方法的估计值全部低估了实际的几何平均值。
表3-5 根据标准差划分为三个区域的表3-4中的逼近误差
然而，对每一种收益率序列而言，除标准差为30.3的收益率序列（即20世纪日本股票市场的实际收益率）外，HL方法逼近的绝对误差四舍五入后的结果不超过1%的0.3，另一个值得关注的特征是：运用EDD逼近方法逼近几何平均值时，日本的收益率序列实际的几何平均值是唯一被高估的。因为表3-1中标准差更高的小盘股收益率序列和普通股股票收益率序列的几何平均值逼近结果优于日本股票收益率序列的逼近结果，所以，日本股票收益率序列的几何平均值逼近结果不理想的原因不仅仅是因为其标准差比较大（简单来讲，我们将这种难以逼近的收益率序列称为棘手的收益率序列）。
表3-4中列示的收益率序列中，除日本收益率序列外，德国收益率序列也是一个棘手的收益率序列。此外，德国收益率序列和日本收益率序列“棘手”之处的不同以及和表3-4中列示的其他14种收益率序列的不同会在表3-6中进行具体分析。表3-6中的部分数据或为其数据本身，或为加号之前的数据，并且每一列中这些数据的合计数为14；此外，表3-6中的每一列中还包含加号之后的数据，并且每一列中的这些数据的合计数为2，如表3-3中的数据对表3-1的作用一样，前者提供了和表3-4中除日本和德国外的收益率相同的信息，而后者则提供了日本收益率和德国收益率的相关信息。
表3-6 表3-4中逼近误差的频率分析表
如果不考虑德国和日本的收益率情况，那么5种逼近方法的相对准确性和表3-3所示的结果相似。值得信赖的是，通过比较表3-6和表3-3的结果，我们可以发现表3-6中HL方法的逼近结果并没有表3-1中的逼近结果理想：运用HL方法时，表3-3列示的9种收益率序列中，7种收益率序列的几何平均值逼近绝对误差四舍五入后的结果为0，另外两种收益率序列的绝对误差四舍五入后的结果分别为1%的0.1和1%的0.2；而在表3-6中，QE方法和NLN方法逼近的绝对误差四舍五入后的结果为0的收益率序列分别有5种和7种，与QE方法和NLN方法相比，HL方法逼近的绝对误差四舍五入后结果为0的收益率序列只有3种。然而，在表3-6中，运用HL方法逼近几何平均值的绝对误差四舍五入后的结果为0.0或0.1的频率为11次，这和运用NLN方法逼近的结果相同，并且仅落后于运用QE方法逼近几何平均值的情况（即运用QE方法逼近几何平均值的绝对误差四舍五入后的结果为0.0或0.1出现的频率为12次）。
我们仍然不考虑日本收益率序列和德国收益率序列的情况，QE逼近方法、NLN逼近方法和HL逼近方法的逼近结果很明显优于EDD逼近方法和（尤其是）LMT逼近方法，并且只有运用EDD逼近方法和LMT逼近方法条件下的逼近绝对误差为0.4。运用EDD逼近几何平均值的绝对误差四舍五入后的结果为0.0的频率只有3次，运用LMT方法时仅有1次；和其他3种逼近方法的逼近误差四舍五入后的结果等于0.0或0.1的频率为11次或12次相比，运用EDD和LMT逼近方法的逼近误差四舍五入后的结果等于0.0或0.1的频率仅为3次或5次。
与此相反，对日本收益率序列和德国收益率序列而言，LMT逼近方法的逼近误差四舍五入后的结果等于0的频率多于1次，关于运用EDD和LMT方法逼近日本收益率序列和德国收益率序列的其他逼近误差四舍五入后的结果为0.1或0.2。除日本收益率序列外，对表3-1和表3-4中列示的每一种收益率序列而言，LMT方法逼近的估计值都低估了实际的几何平均值，甚至有时低估的程度很大；而日本收益率序列是运用LMT方法逼近几何平均值的唯一的高估其实际几何平均值g的收益率序列。
在某种程度上，表3-7解释了不同收益率序列的各种棘手问题。表3-7中，第一列列示了看似令人疑惑的相对棘手的6种股票收益率序列的名称，前4种为标准差比较大的收益率序列：小盘股的收益率序列、新兴市场股票的收益率序列、德国股票的收益率序列和日本股票的收益率序列；另外一对收益率序列是表3-4中令人疑惑的丹麦股票的收益率序列和美国股票的收益率序列，因为这两种收益率序列具有相近的标准差，即标准差分别为20.1和20.2，但是这两种收益率的误差估计的范围不同且可以分辨：第一种（丹麦）收益率序列的几何平均值被低估了1%的0.3或1%的0.4，而第二种（美国）收益率序列的几何平均值被高估，并且四舍五入后的高估范围为（0.0，0.2）。
表3-7 运用QE方法逼近各种收益率序列的极端值的误差表
表3-7的第2列列示了6种收益率序列的算术平均值；第3列列示了6种收益率序列中的最大损失率；第4列列示了当R等于最大损失率条件下的log（1+R）的值；第5列列示了运用QE逼近方法逼近log（1+R）的估计值［具体见式（3-11b）］。我们运用QE方法逼近log（1+R）有如下两个原因：第一，QE方法是4种逼近方法——σ/（1+E）的函数中的一种，并且实际上其逼近结果处于内部位置，即运用QE方法逼近各种收益率序列的几何平均值时，其逼近结果中既不含有最大估计值，也不包含最小估计值；第二，同样重要的是，当评估log（1+g）=Elog（1+R）时，运用QE逼近方法产生的逼近误差可以表述为分项误差Q（Rt）-log（1+Rt）的平均值，这里的Q()表示式（3-11b）右侧的平方项，这使我们能够确定特殊观测值的逼近误差对总误差的贡献。第6列列示了R等于最大损失率条件下运用QE逼近方法逼近的估计误差；第7列列示了6种收益率序列中的最大收益率，第8列、第9列和第10列分别列示了最大收益率条件下的log（1+R）值、Q（R）值和Q（R）-log（1+R）值。
表3-7的倒数第3列列示了运用QE方法分别逼近最大损失率和最大收益率的误差对总误差的贡献的合计，且通过将两种条件下的误差加总后除以其样本规模（表3-7最后一列）得到。然而，因为计算实际误差的样本规模达到99，因此据此得到的误差并没有构成全部的实际误差（表3-7中倒数第2列）。此外，如图3-5所示，这些“极端值误差贡献”和总误差高度相关：图3-5的横轴表示这些极端值产生的误差，而纵轴表示实际的总误差。图3-5中直线的倾斜角为45度（即Y=X），折线连接的是总误差和极端值误差的观测组合。
图3-5 实际误差和极端值误差贡献
图3-5表明：对日本收益率序列而言，收益率极端值的误差贡献约为0.005，而实际误差约为0.007；而当前条件下，新兴市场收益率序列和德国收益率序列的极端值误差贡献约为0.006，实际误差约为0.005，日本与其相比，仍然有些异常。然而，图3-5清晰地区分了这些收益率序列和具有较高标准差的小盘股收益率序列的误差贡献情况，即小盘股收益率序列的极端值的贡献为-0.001，实际总误差为0.002，这种分析也为解释丹麦收益率序列（极端值误差贡献为-0.001，实际误差为-0.003），美国收益率序列（极端值误差贡献为0.000，实际误差为0.001）的不同之处指明了正确的方向。
当然，我们认为上述误差并没有完全解释总误差，但上述分析过程让我们了解到收益率序列的极端值误差贡献或大或小的原因。举一个具体的例子：比较表3-7中小盘股收益率序列和新兴市场股票收益率序列这两行数据，我们可以发现，小盘股的最大损失率要高于新兴市场股票的最大损失率，并且小盘股的最大收益率要高于新兴市场股票的最大收益率，但是小盘股序列的极端值误差贡献要低于新兴市场股票序列的极端值误差贡献，并且小盘股序列的总误差也低于新兴市场股票序列的总误差。因此，极端值误差的绝对值的合计并不能够解释极端值误差的贡献。
对最大损失率观测值而言，运用QE逼近方法时总是高估log（1+R）的值，因此产生一项正的误差值；然而，对最大收益率观测值而言，运用QE逼近方法时总是低估log（1+R）的值，因此产生一项负的误差值；小盘股序列的正的误差值和负的误差值相加后除以其样本规模后得到的数值要低于新兴市场股票序列，你可能会认为这是由新兴市场股票序列的样本规模小于小盘股序列的样本规模造成的，为了消除这种疑虑，请注意小盘股序列的极端值误差贡献要小于样本规模更大的德国股票序列和日本股票序列的极端值误差贡献。
为了明确我们接下来要做的工作，请注意：只要考虑股票序列的最大损失率和最大收益率的年份，则小盘股的历史收益率分布比新兴市场和德国或者日本股票的收益率分布右偏峰度更大一些。例如，小盘股的历史收益率分布范围是［-58%，143%］，而新兴市场股票序列收益率的范围是［-53%，56%］，德国股票序列收益率的范围是［-90%，156%］，日本股票序列收益率的范围是［-84%，120%］。
如表3-8和图3-6所示，德国股票序列收益率的范围是［-90%，156%］，小盘股的历史收益率分布范围是［-58%，143%］，两者的收益率分布的右偏峰度看起来似乎相同，这反映了需要从收益率中抵消来自QE方法的逼近损失率而产生的误差。例如，如果R=0.0——比假设的E=0.1小0.1，那么被抵消掉的收益率为0.205，即比E高0.105；如果R=-0.3——比假设的E=0.1小0.4，那么被抵消掉的收益率为0.59，即比E高0.49；如果R=-0.9——比假设的E=0.1小1.00，那么被抵消掉的收益率为2.28，即比E高2.18。
表3-8 E=0.1条件下运用QE逼近方法时从观测损失中抵消的收益
图3-6 E=0.1条件下运用QE逼近方法时从观测损失中抵消的收益
我们有时说，均值-方差分析方法仅适用于收益率分布为对称分布的条件。5相反地，我们可以看到，正如马科维茨（1959）阐述的那样：当收益率分布没有足够向外延伸的条件下，无论收益率分布的形状如何，不管是Q0逼近，还是QE逼近，其结果都非常理想。此外，图3-6显示，如果收益率分布为适当的右偏分布甚至向外无限延伸时，运用QE方法逼近Elog（1+R）的结果仍然很理想。一种特殊的右偏分布为对数正态分布，其对数形式是对称的，即［log（1+R）-Elog（1+R）］的概率密度等于-［log（1+R）-Elog（1+R）］。如果收益率R的分布为对数正态分布，那么无论收益率分布如何延伸，运用NLN方法的逼近误差都为0；在这种条件下，运用QE逼近方法、HD逼近方法和EDD逼近方法都会低估实际的几何平均值，但是根据图3-2，QE逼近方法的逼近结果应该不会太坏。