逼近方法的选择

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最开始，我们运用6种公式逼近收益率序列的几何平均值g。通过分析，我们第一个排除了Q0逼近方法；然后，由于LMT方法逼近结果的不理想性，以及在“各种逼近方法之间的联系”一节中讨论的LMT逼近方法的问题，排除LMT逼近方法是一个明智的选择。本节中，我们将讨论其他4种逼近方法（即QE、EDD、NLN和HL）的优点。

为什么运用EDD方法逼近收益率序列的几何平均值时通常会低估实际的g值？如前所述，对具有较低标准差的收益率序列而言，各种逼近方法的估计值几乎相同，因此，这些收益率序列的几何平均值通常全部被高估或全部被低估，这与图3-1中σ＜10%的收益率序列和图3-4中σ＜23%的收益率序列的逼近结果相符；然而，对于具有较高标准差的收益率序列而言，除了图3-1中的标准差等于23.1%的发达的非美国市场股票收益率序列和图3-4中的日本股票收益率序列外，运用EDD方法逼近时的估计值总是低估实际的几何平均值g。这仅仅是这两种数据集估计的特殊性吗？还是EDD逼近方法通常会低估实际的几何平均值有一定的原因呢？

在一定程度上，正如NLN逼近方法和对数正态分布相联系一样，EDD逼近方法和正态分布相联系。NLN逼近方法解决的问题是：“对于给定的E和V，在收益率分布服从对数正态分布条件下g的值是多少？”而EDD逼近方法并没有解决和NLN逼近方法相同的问题。当然，EDD逼近方法告诉我们：如果收益率分布的相同的前四阶矩服从正态分布，那么在给定E和V的条件下，泰勒四级逼近结果相同。因为正态分布为对称分布，三阶矩对逼近没有任何贡献——与积极贡献相比，其可能造成收益率分布的右偏；而如式（3-13b）所示，四阶矩对于逼近的贡献一定是负向的；因此，与式（3-13a）中的QE逼近方法相比，EDD逼近方法的估计值降低。

如果泰勒四级逼近结果优于泰勒一级逼近结果和泰勒二级逼近结果，假设与方差相关的较高级数的中心矩服从正态分布，那么在相同的条件下，泰勒六级逼近结果、泰勒八级逼近结果或泰勒2nth（n比较大）级逼近结果和泰勒四级逼近结果相比，哪一个更好呢？因为所有级数为奇数的中心矩的值为0，即使中心矩的值为正数，但在泰勒展开式的对数形式中，其仍被赋予负权重，并且随着n的增加，EDD逼近方法的估计值逐渐减小。考虑到这种局限性，在运用EDD逼近方法时，最好的办法就是假设收益率分布服从正态分布。但是，因为每一个正态分布的随机变量都具有一个正的概率，即1+R＜0，在此条件下，无论E＞0且V＞0是否成立，都有g=-1，此时对于所有的收益率序列和收益率分布而言，实际的几何平均值g值被最大限度地低估了。

当然，EDD逼近方法并未偏离这种“滑坡谬误”[1]太远，事实上，首先，我们假定了EDD逼近方法是合理的，但考虑到其运用的局限性才产生了这种谬论；其次，对于给定的数据集而言，EDD逼近方法的估计值频繁地低估收益率序列实际的几何平均值；最后，至少对我们来讲，为了实现修正我们所列举的各种貌似合理的可选择的逼近方法的愿望，从列表中除去EDD逼近方法似乎是不可抗拒的。

为了更好地得到收益率序列或投资组合收益率的几何平均值的估计值，我们最开始提出了作为收益率序列或投资组合收益率的算数平均值和方差的函数的6种方法，至此基于理论和实证的综合原因，我们已经排除了其中的3种方法（即Q0方法、LMT方法和EDD方法），接下来我们将论证其余3种逼近方法从列表中不被排除的至少一个强有力的理由，即有时其中一种的逼近结果更好，而有时其他两种方法更好，并且在允许的范围内估计时，最高值和最低值是有效的。

[1] 滑坡谬误：一种逻辑理论，即不合理地使用一连串的因果关系，将“可能性”转化为“必然性”，以达到某种意欲之结论。——译者注