其余三种方法

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连续时间序列的金融模型，如布莱克-斯科尔斯期权定价模型，通常假定股票价格（或股票指数）遵循几何布朗运用规律，即在独立分布的非重叠时间间隔条件下，股票价格或股票指数的增量服从对数正态分布。实证经验表明：表3-6表明运用NLN方法逼近表3-4中的收益率序列时，其逼近误差四舍五入后的结果等于0的频率要高于其他两种方法，因此，如果剩余的3种方法中需要排除一种，那么被排除的不会是NLN方法。

然而，表3-3表明运用HL方法逼近表3-1中的收益率序列时，其逼近误差四舍五入后的结果等于0的频率也高于其他两种方法，并且表3-6表明，运用HL方法逼近表3-4中的收益率序列时，其逼近误差四舍五入后的结果等于0或0.1的频率为11次，即和NLN方法一样好，所以，从余下的3种方法中排除HL方法似乎是不合理的。最后，由于QE方法的逼近结果位于HL方法和NLN方法之间，所以，在估计范围不被允许的条件下，QE方法是一种明显的“折衷方法”。

其余三种方法的选择

综上所述，余下的三种逼近方法——HL方法、QE方法和NLN方法应该全部置于我们的“工具袋”中，并且需要为其提供一个合适的估计范围。但是，如果被估计的范围不合适又会怎样呢？尤其是，某投资者拥有的投资组合中可能只包含一种混合的资产组合，假定该投资者计划长期持有具有最大化的几何平均值g的混合资产组合，那么该投资者的投资顾问应该建议最大化投资组合收益率几何平均值g的哪一种方法，是NLN方法，还是QE方法，或是HL方法呢？还是这3种方法的加权平均数呢？

我们建议，该投资者的投资决策应该取决于“该投资顾问掌握的专业知识的多少，或该投资顾问对相关收益率分布形态的假设”。为此，我们将投资顾问的知识和假设区分为如下四个层次。

（1）投资顾问倾向于假设收益率分布的特定形态（例如，在一定程度上，假设收益率分布的偏度和峰度），但不假设收益率分布的位置和刻度。

（2）投资顾问不愿意假设收益率分布的特定形态，但是愿意假设收益率分布为几种分布形态中的一种。

（3）投资顾问不愿意假设收益率分布为几种分布形态中的一种［如（2）］，但是愿意假设与收益率分布的一定的相关属性。

（4）投资顾问一无所知并且不愿意做出任何假设。

每一种情况下的对应建议如下。

（1）例如，既定投资顾问假设：

则：

Mh=E（R-E）h

根据式（3-19），在E和V已知的条件下，可计算得出M3和M4。进一步地，如果投资顾问假设收益率分布为皮尔逊族（包含许多相似名称的广泛的分布集）中的一种，那么总体分布为已知的，因为在分布集有限的条件下，决定特定皮尔逊分布的唯一因素是其前四阶矩。因此，无论是通过公式还是数字方式，都可以计算出收益率分布的几何平均值。

本卷第5章阐述了作为收益率分布的皮尔逊族的运用，第5章中，我们重点关注如何估计各种投资的可能收益和可能损失的概率，而不是几何平均值的计算，但是，显然，对收益率的总体分布而言，可以同时满足以上两种目的。

（2）假定在投资组合给定的条件下，投资顾问不愿意估计单一的收益率分布，但是愿意赋予不同特定的收益率分布D一定的主观概率。在本章相关的附录内容中，我们对运用这些不同特定的收益率分布D选择逼近方法的可能性，得出的结论是应该使用3种逼近方法的加权平均数。这可以作为“投资组合选择”问题的论证内容，其中，平均均方误差和平均绝对误差为其成立的必要条件。

（3）第三种情况下，投资顾问不愿意假设收益率分布的形式，但愿意假设收益率分布的相关属性，这里所说的“相关属性”指的是收益率分布的偏度和峰度，尤其是和运用QE逼近方法时误差的来源相关的收益率分布的偏度和峰度，具体如表3-7、表3-8和图3-6所示，这样表明：无论QE方法逼近的估计值趋向于低估实际的几何平均值g，还是高估实际的几何平均值g，以及低估或高估多少。如果QE方法逼近的估计值高估实际几何平均值的程度比较大，那么投资顾问应该运用NLN方法替代QE方法，同样地，如果NLN方法逼近的估计值高估实际几何平均值的程度比较大，那么投资顾问应该运用HL方法替代NLN方法，至于高估或低估实际的几何平均值多少从QE的转变中可以充分证明，这取决于NLN方法与QE方法或QE方法与HL方法的不同，视具体情况而定——取决于δ/（1+E），具体如图3-2所示。

（4）如果投资顾问一无所知并且不愿意做出任何假设，那么我们建议投资顾问坚持选择“折衷方法”，即QE方法。

回顾

均值-方差有效集合计算过程中必须输入收益率序列的算数平均值而不是几何平均值，但是，因为投资组合收益率的几何平均值可能是投资组合长期持有的收益率，所以投资顾问应该获知投资组合收益率的几何平均值。本章中我们重点分析了6种以两个数据集中的收益率序列的算术平均值和方差为基础的方法逼近几何平均值的有效性，并且由于理论和实证的综合原因，排除了其中的3种方法，尤其是，频繁地运用封底计算规则——收益率序列的几何平均值近似等于收益率序列的算术平均值减去方差的一半，对投资组合的年收益率而言，这种方法的逼近结果很不理想；其余3种方法（近似对数正态分布、R=E时的二次逼近以及Henry Latané逼近）一定满足：

gNLN≥gQE≥gHL

当且仅当收益率序列的方差为0时，等号成立。gNLN对于其中一组数据集是有效的，gHL对另外一组数据集是有效的，而每一种情况下，gQE都是一种折衷的好办法。

第4章中我们重点论证了运用风险-收益率逼近几何平均值g的有效性，或者同样地，使用风险方法而不是方差方法逼近Elog（1+r）的有效性。