研究总结：如何选择一个最合理的加权平均值

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如前文所述，我们假设投资顾问已经选择用D代表收益率分布，这些分布可能是从一些大型资产组合的收益率分布中随机挑选的分布，并且，投资顾问不需要假设所有的D分布都同样合理，尤其是，我们用

Pd，d=1，…，D

表示投资顾问声明的概率，即“收益率序列的主体分布的几何平均值与其算术平均值和标准差具有相同的关系”。用M表示逼近方法的选择序号，则

wm，m=1，…，M

表示赋予每一种逼近方法的权重，形成一种加权平均估计。因此：

因为每一位投资顾问或投资者都不想“简略”任何一种逼近方法，所以wm必须满足不等式（3A-1b），如果运用某种方法时需要打赌某个事件不会发生，那么其负作用和反作用应该替代使用。式（3A-1a）是必须要满足的，因为如果某一方法逼近的结果系统地高估或低估了实际的g，且在只运用一种方法的条件下，我们应该赋予其除1以外的权重，则其计算过程需要据此进行调整［如果式（3A-1a）被省略，那么对于所有的m而言，wm=0即表明存在唯一有效的投资组合］。

当分布d满足式（3A-2）时，加权平均的方法会产生一定的误差：

其中，emd表示分布d条件下运用m方法产生的误差。我们可以将误差Ed分为正误差Pd和负误差Nd，即

其中，

这里将优化过程定义为保证Pd=0或Nd=0的过程。我们希望所期望的绝对误差很小，即

这相当于使E更大，即

同时，我们希望所预期的均方误差也很小，即

换句话说，我们讨论了满足式（3A-1a）、式（3A-2）、式（3A-3a）、不等式（3A-1b）和不等式（3A-3b），且使得E和S有效地权重w1，…，wm的组合，其中E和S由式（3A-4a）和式（3A-4b）定义。

因为E是线性函数，S是半正定二次函数，并且其约束条件为线性等式或（程度较弱）的不等式形式，并且寻找E和S的有效向量（w1，…，wM）问题可以作为马科维茨（1959）著作中题为“一般投资组合选择”的第8章、附录A或马科维茨和多德（2000）中的一个实例，这种“临界线方法”可以用来追踪整个分段线性函数的有效权重集，并且通过运用通用的二次规划算法，可以从这个有效边界中得出2个或3个点。