第4章　风险度量方法选择

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简介

在第3章中，我们给出了6种几何平均值（即期望对数）逼近方法并且利用多个收益率序列对几何平均值的逼近效果进行了对比分析，在本章中，我们讨论4种风险度量方法，并以此为基础，和第3章中的QE方法进行对比分析，主要比较对数期望效应和对数风险-收益，在实际工作中，大量学者认为模拟或逼近投资者的对数期望效用应该运用多种不同的风险度量方法。若假定投资者是理性的，在进行风险度量方法比较之前，研究者应该对期望效用在理性决策者在投资决策中的作用进行解释，或者证明其所选择的风险度量方法对期望效用的近似要优于均值-方差方法。然而，在现实的研究中，研究者往往并未针对上述理由给出解释，因此，在本章中我们将客观地评价均值-方差对期望效用的模拟逼近方法、以均值为基础的逼近方法对期望效用的模拟以及其他常用的风险度量方法对期望效用的模拟的优劣。

本章所讨论的风险度量方法包括5种，即

（1）方差（V）

（2）平均绝对离差（MAD）

（3）半方差（SV）1

（4）在险价值（VaR）

（5）条件在险价值（CVaR）

方差的度量和统计学中方差的度量完全一致，即收益率序列对均值偏离的期望平方和，针对其他4种风险度量方法，我们给出如下定义：

MAD=E|R-E（R）|

SV=E{Min［0，R-E（R）］}2

在4种风险度量方法中，VaR所度量出的风险是最大的，原因如下：

Prob［R≤（-VaR）］≥p

CVaR=E［R|R≤（-VaR）］

通常情况下，实际研究中检验在险价值的伴随概率p值通常选择小于0.05的水平。

在过去的研究中，很多研究者针对以上5种风险度量方法给出了自己的看法，Konno和Yamazaki（1991）提出运用MAD风险度量方法作为投资组合选择决策方法；Sortino和Satchell（2001）提出运用半方差风险度量方法（又称为下跌风险）作为投资组合选择决策方法；Jorion（2006）认为应该用VaR风险度量方法作为投资组合选择决策方法；Kaplan（2012）建议运用CVaR风险度量方法作为投资组合选择决策方法。

资产交易数据库

表4-1列示了第3章中表3-1所列示的资产组合的历史统计数据，其中，表3-1中所列的某些统计数据在表4-1中被重复列示；表3-1中的其他统计数据进行了调整，即用即期收益率替代一段时间的收益率。

表4-1　常用资产组的历史统计数据

在表4-1中，第1列表示样本资产组合的名称；其余各列则分别给出了不同的统计量，从第2列到第10列的统计量分别是：算数平均值、几何平均值、标准离差、平均绝对离差（MAD）、半离差（半方差的平方根）、方差与2倍半方差的比率、5%显著性水平下的直接在险价值（VaR）、5%显著性水平下的间接在险价值（VaR）和条件在险价值（CVaR）。

因为对称分布的半方差为其方差的一半，因此，对于对称分布而言，有：

Ψ≡V/2SV＝1

对于右偏分布而言，有Ψ＞1；对于左偏分布而言，有Ψ＜1。如果Ψ=1，那么此分布可能为对称分布，也可能不是对称分布，但是我们称之为“偏度为零”的分布。在表4-1中，各种资产组合的收益率分布绝大部分是右偏分布，唯一的例外情况是，发达的非美国市场（EAFE）的收益率分布在本质上为“偏度为零”的分布，而大规模公司的股票收益率分布为左偏分布。

如果每种资产组合的收益率序列被假定为等概率，且其现实收益率数据是总体中存在的唯一的可实现收益，那么，在5%的显著性水平上，直接在险价值可以使用此时投资者遭受的最大损失的绝对值来测量，这也就意味着，投资者在5%的概率水平上，可能会遭受的最大损失为直接在险价值，这一数值也可以理解为投资者所遭受的所有损失的合计值，这一损失在总体中至少有5%的概率发生，对于小样本数据而言，直接在险价值VaR和下一期的在险价值可能会存在一个较大的缺口，即直接VaR的估计可能是不准确的。为了解决这一问题，间接在险价值VaR法提供了一个更好的近似，在间接在险价值VaR法中，我们假定直接在险价值VaR和下一期的收益率序列具有相同的分布状态，这样，就可以假定收益率序列的概率密度函数是分段函数，具有阶跃函数[1]的概率密度性质。在现实中，我们选择该分段函数的线性拟合值的对应在险价值作为间接VaR的拟合值。

条件在险价值CVaR本质上是直接VaR和更大损失之间的均值缺口，即CVaR等于直接VaR和更大损失的平均值。表面看来，利用直接VaR和间接VaR计算条件在险价值CVaR是没有必要的，因为两种计算方法给出了大量的重复估计区间（支持使用条件在险价值CVaR方法度量风险价值的学者可能会认为这一结论并不公平，由于我们所使用的数据是公开且可获得的，因此也可以很容易地对这些资产组合的条件VaR进行重新计算）。

[1] 阶跃函数：如果实数域上的某个函数可以用半开区间上的指数函数的有限次线性组合来表示，那么这个函数就是阶跃函数，阶跃函数是奇异函数，是有限段分段常数函数的组合。——译者注

第4章 风险度量方法选择

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