风险度量方法比较
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在本卷第2章中，式（2-6）为f（E，V）=log（1+E）-V/［2（1+E）2］，该公式可以被写成式（4-1），即
令
因为ΔL≈E-g，所以当运用低于的数值计算时，会低估ΔL的值。在本章中，我们以第1节给出的5种风险度量方法为基础，使用第3章中的数据集，对ΔL进行估计。
在表4-2中，我们以相同的顺序给出了表4-1中的资产组合，在该表中再次列出了这些资产组合收益率序列的算数平均值和几何平均值，此外，表4-2中还给出了这些资产组合的ΔL值。
表4-2 常用资产组合的方差、半方差、平均绝对离差逼近和几何平均值
在表4-2中，第4~10列分别列示了不同风险度量方法的不同风险估计值，其中，第4列列示了资产组合收益率序列的方差V；第5列列示了V/（1+E）2的值，该值可以称之为“调整后的方差”；第6列列示了平均绝对离差（MAD）；第7列列示了平均绝对离差的平方，即MAD2；第8列列示了MAD2/（1+E），我们称之为“调整后的平均绝对离差的平方”；第9列列示了半方差，即SV；第10列列示了SV/（1+E）2，我们将之称为“调整后的半方差”。
对每一个风险度量（RM）函数而言，我们设定其函数形式为f，因此可以用0截距的回归模型对RM和ΔL进行拟合，如式（4-3）所示，即
在该回归模型中，截距项为0的假设是合理的，原因在于，若资产组合收益率为常数，即E=g，则意味着该资产组合的风险为0，即ΔL=0；假设市场是完全竞争的，我们比较了“调整后的方差”和其他形式的f（RM）在风险度量中的效率，给出拟合的贝塔值，我们并未直接使用泰勒级数展开的贝塔值，即β=0.5，尽管拟合的贝塔值（β=0.53）和泰勒级数展开的贝塔值（β=0.5）非常接近。
对于每一个风险度量函数f（RM）而言，表4-2中的第11行给出了每种风险度量函数对应的贝塔系数，最后一行是均方根误差（RMSQ）的百分比形式。这两行数据可以理解为，若以两倍的均方根误差（RMSQ）作为置信区间，如果几何平均值的调整后的方差估计是10%，那么该估计值的可能估计误差不超过2×0.05%=0.10%，即10基点（bp，为一个基点，即0.01%）；对于平均绝对离差（MAD）而言，由于其RMSQ=0.51，因此，其可能的估计误差不超过±1.02%（即102个基点），或稍微高于1个百分点；调整后的平均绝对离差的平方［MAD2/（1+E）2］的估计结果是最理想的，当均方根误差RMSQ为0.20%（即20个基点）时，其置信区间为（-0.40，0.40），相当于方差和半方差的2倍和调整后的方差的4倍。
图4-1给出了平均绝对离差（MAD）的均方根误差如此大的原因，图4-1的横轴表示的是MAD的值，纵轴表示的是ΔL的三种形式，即ln（1+E）-ln（1+G）、A+B×MAD和Beta×MAD的值。尤其是，图4-1中的两条直线分别表示在ΔL和MAD的回归中截距项存在和设定截距项为0两种情况，而图4-1中的第三条曲线表示的是每一观测值的实际的ΔL值。如图4-1所示，对于存在截距项的回归模型而言，当MAD=0时，其估计的ΔL的符号为负（即ΔL＝-0.07）；然而，现实中ΔL＜0是不可能的，因为收益率序列的均值E至少不小于几何平均值g，所以。因此ΔL≥0，回归模型估计出的直线一定通过坐标轴原点。正如图4-1所给出的那样，当运用MAD方法进行估计时会产生如下两个方面的问题：第一，估计出截距项小于0；第二，实际的ΔL值和MAD呈现明显的非线性关系。此外，如图4-2所示，基于同样的数据，运用调整后的平均绝对误差的平方时，实际的ΔL值和MAD呈现出明显的线性关系并且直线几乎通过坐标轴原点，这大大地降低了均方根误差（RMSQ）的值，但是却没有降低方差的值，其中，图4-3描绘了收益率序列的方差V和实际的ΔL值的关系，图4-4描绘了收益率序列的调整后的方差和实际的ΔL值的关系。
图4-1 常用资产组合MAD与ln（1+E）-ln（1+G）、A+B×MAD和Beta×MAD之间的关系
图4-5以图4-2为基础，描绘了资产组合收益率序列的半方差和实际的ΔL值的关系，其拟合效果比调整后的方差和实际的ΔL值的关系的拟合效果要更好一些。如图4-5所示，收益率序列的半方差和实际的ΔL值之间呈现近似的线性关系，并且曲线通过坐标轴原点。
表4-3的前四列分别重复给出了资产组合收益率序列的算术平均值、几何平均值、ΔL值和调整后的方差［即V/（1+E）2］；第5列和第6列分别给出了风险度量方法中的直接在价值和以直接在险价值为基础的风险度量函数，其中：
RVEV=［（raw VaR+E）/K］2
和
调整后的RVEV={［（raw VaR+E）/K］2}/（1+E）2
其中K=1.65。RVEV表示用初始风险价值估计资产组合收益率序列的方差，因为在概率Prob［R≤（-raw VaR）］=0.05的条件下，对于一个正态分布随机变量而言，RVEV和方差是相等的。运用RVEV方法逼近几何平均值的效果比运用直接在险价值和调整后的RVEV逼近几何平均值的效果更加理想，但是实质上，运用RVEV方法逼近几何平均值的效果比运用调整后的方差逼近几何平均值的效果更差，甚至比运用方差和半方差的方法逼近几何平均值的效果更差。图4-6描绘了运用直接在险价值逼近几何平均值的情况，而图4-7描绘了运用RVEV逼近几何平均值的情况。
图4-2 常用资产组合的ln（1+E）-ln（1+G）和（MAD）2/（1+E）2之间的关系
图4-3 常用资产组合的ln（1+E）-ln（1+G）和方差之间的关系
图4-4 常用资产组合的ln（1+E）-ln（1+G）和V/（1+E）2之间的关系
图4-5 常用资产组合的ln（1+E）-ln（1+G）和半方差
图4-6 常用资产组合的ln（1+E）-ln（1+G）和直接在险价值之间的关系
表4-3 常用资产组合收益率序列的方差、VaR和CVaR逼近几何平均值分析表
图4-7 常用资产组合的ln（1+E）-ln（1+G）和［（raw VaR+E）/K］2逼近情况
表4-3的第8列和第9列分别列示了利用现有数据计算的间接VaR、运用直接VaR估计的方差和运用间接VaR估计的方差。在这三种情况下，调整后的间接VaR的逼近效果比运用间接VaR的逼近效果更加理想。然而，和运用直接在险价值VaR的各种形式逼近一样，运用间接VaR逼近的效果比运用方差、调整后的方差以及半方差的逼近效果要差一些。图4-8描绘了间接VaR和实际的ΔL值之间的关系。
图4-8 常用资产组合的ln（1+E）-ln（1+G）和间接VaR的逼近情况
表4-3的最后三列和MAD的相关函数的定义类似，分别给出了收益率序列的条件在险价值CVaR、条件在险价值CVaR的平方、调整后的条件在险价值CVaR的平方。从表4-3中可以看出：CVaR的平方的均方根误差（RMSQ）的逼近效果要优于调整后的CVaR的平方的均方根误差（RMSQ）的逼近效果，并且尽管这两种逼近方法的逼近效果没有运用方差、半方差的逼近效果理想，但是要优于运用CVaR本身的逼近效果。图4-9和图4-10分别描绘了CVaR和实际的ΔL值之间的关系以及CVaR的平方和实际的ΔL值之间的关系。
图4-9 常用资产组合的ln（1+E）-ln（1+G）和CVaR的逼近情况
图4-10 常用资产组合的ln（1+E）-ln（1+G）和CVaR2的逼近情况