第5章　收益率分布的多种可能状态

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与Anthony Tessitore、Ansel Tessitore和Nilufer Usmen一起写作本章。1

简介

在本卷的前四章中，我们主要研究了如下三个方面的内容，即

（1）在概率已知的单期的决策条件下，期望效用最大化准则应该作为理性决策者选择概率分布的标准（第1章）；

（2）对于具有较高凹性的效用函数（风险规避型决策者）和具有真实投资组合收益率分布特征的投资者而言，运用均值-方差有效边界的方法逼近最大化的期望效用是一种谨慎的选择（第2章和第3章）；

（3）用方差模拟期望效用函数EU=log（1+收益率）所得到的最优结果，至少和其他常用的风险度量方法一样好（第4章）。

从上述的分析中，我们可以得出如下结论：若收益率分布不服从正态分布的条件，均值-方差分析方法对投资者进行投资决策是最优选择。然而，这个结论表明：在以期望效用E和标准差δ表示的有效边界已知的条件下（例如，几乎95%的收益率分布的有效边界为E±2δ），这个结论并不适用。为了解决这一问题，我们必须对某些收益率分布的形式做出假设。

本章的作者们基于DMS数据集，以DMS数据集的收益率数据作为研究基础，对收益率的概率分布和收益率的数据生成过程进行了研究，给出概率分布函数的多种可能形式，在本章中，我们阐述了这些研究的成果。

本章的主要研究目的如下。

（1）分析由历史收益率序列决定的收益率分布函数；

（2）归纳和总结出用以判断投资组合的收益率分布函数的一般方法。

在本章的研究中，我们运用的方法分别来自于Markowitz和Usmen（1996 a&b）以及Alparslan、Tessitore和Usmen（2013）所运用的研究方法，在这些文章中，学者普遍运用标准普尔500指数（S&P 500）的日收益率数据，并且其作者假设：在概率未知的条件下，理性决策者会选择运用主观概率（PB）替代未知的“客观”概率的方式实现期望效用（EU）最大化，而运用这种EU/PB准则的必然结果就是：随着数据的不断积累，根据贝叶斯定理，主观概率（PB）处于不断变化之中。这就是马科维茨（1959）以萨维奇（1954）公理化的方法为基础，在其著作第12章中阐述的“在概率不确定的条件下，理性决策者如何做出投资决策”的观点。

在先验概率[1]已知的条件下，才能运用贝叶斯定理计算相关数据的后验概率。[2]此外，数据本身具有一个特定的统计量：贝叶斯因子，这表明了在各种假设条件下，运用贝叶斯定理的决策者是如何“改变”其主观概率的。2贝叶斯因子的用途在于可以让决策者基于贝叶斯定理分析投资组合相关数据集合的现实意义，其中，这里所说的“运用贝叶斯定理的决策者”是指被Hildreth（1963）称作“运用贝叶斯定理进行投资决策的人”，即贝叶斯统计学家并不知道谁在利用贝叶斯定理投资决策，也并不清楚这些决策者的先验概率存在哪些区别。

Markowitz和Usmen（1996b）通过对一组包含各种收益率分布的数据集，即“皮尔逊族”的分析，给出了贝叶斯因子的计算结果；其中，“贝叶斯族”中包括许多已知的概率分布形式，像正态分布、学生t分布、伽马分布（卡方分布）、柯西分布、贝塔分布（Ⅰ型和Ⅱ型）、均匀分布和指数分布。在这项研究中，Markowitz和Usmen发现，运用贝叶斯定理的决策者实际上更像是通过贝叶斯因子1074的相关函数来改变其主观概率，然而，这与“最好的”正态收益率分布相违背，但与自由度处于4和5之间的学生式t分布相符合。Alparslan等学者通过分别计算皮尔逊分布中的最优分布和不同分布族［即有时被假设为产生收益率的稳定的帕累托分布（Mandelbrot，1963）］中的最优分布的贝叶斯因子，发现皮尔逊族中的最优分布比稳定的帕累托分布族中的最优分布更好一些。

本章的第2节详细阐述了贝叶斯因子的产生背景，这样做主要有两个目的：第一，介绍皮尔逊分布族；第二，对Markowitz和Usmen的主要研究结果进行总结，而后者的研究成果取决于哪一种皮尔逊分布最优地拟合了现实数据的分布状态，更为重要的是，当贝叶斯因子的估计充分且可靠时，运用贝叶斯定理进行决策的投资者在何种情况下主观概率仅仅发生微小的变化，以及在何种情况下其主观概率会发生巨大的变化。

贝叶斯因子、皮尔逊分布以及Markowitz和Usmen的主要研究结果等内容占据了本章的一半篇幅，本章的余下部分主要阐述了和基于DMS数据集进行研究相关的内容，具体而言，本章分析了20种收益率序列的分布特征，这20种收益率分布包括：

（1）Dimson等（2002）最初研究的数据集中给出了16个国家普通股股票的实际的收益率（即本卷第3章和第4章已经分析过的收益率序列）；

（2）Dimson等（2002）在后续研究中所增加的3个国家的普通股股票的实际收益率；

（3）上述19个国家普通股股票的实际的各种投资组合的收益率。

我们将上面给出的第三种收益率序列称为“总体”，并且，如果运用贝叶斯定理的投资者认为投资组合的下期收益率分布很可能等于19个国家的收益率分布中的某一种，则将此作为其抽取的收益率分布的样本，而对这19个国家的收益率分布中的每一种分布进行单独的、相似的分析已经超出了本卷的研究范围。然而，与皮尔逊分布相联系的矩和直方图等工具可以很好地帮助我们描述各种经验分布（即实际上，20世纪的投资者所倾向于选择的各种经验分布）的特征。

[1] 先验概率：根据以往经验和分析得到的概率，是“由因求果”问题中“因”出现的概率。——译者注

[2] 后验概率：在得到“结果”的信息后重新修正的概率，是“执果寻因”问题中的“果”，其计算以先验概率为基础。——译者注

第5章 收益率分布的多种可能状态

第5章　收益率分布的多种可能状态