贝叶斯因子

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我们首先定义贝叶斯定理，即当：

（1）理性决策者对收益率数据的可能解释的相关假设（Hi）只有有限种（n）可能；

（2）这些假设的其中任何所产生的可能“观测值”是有限的。

令：

·P（Hi）是理性决策者在得到观测数据O之前认为的第i种假设可能发生的概率；

·P（O|Hi）是假设Hi成立的条件下得到观测值O的概率（也称为“可能性”）；

·P（Hi|O）是观测值已知的条件下，理性决策者认为的假设Hi发生的概率。

所以，贝叶斯定理的数学公式表示为如下形式，即

运用式（5-1）计算后验概率P（Hi|O）时，首先需要知道先验概率P（Hi）。此外，例如，P（Hi|O）和P（H2|O）的比率等于：

即

其中：

这里的B12称为H1和H2之间的贝叶斯因子，其表明了理性决策者以观测值O为基础，在运用贝叶斯定理进行投资决策时，为了得到后验概率P（H1|O）/P（H2|O），先验概率P（H1）/P（H2）需要变化的方向和数值，而贝叶斯因子的计算和先验概率无关。

像投资组合的历史收益率一样，式（5-1）和式（5-2）中的观测值可能是一组数据。如果无论是假设H1决定的收益率分布还是假设H2决定的收益率分布，其收益率序列中包含的T个数据均为独立随机变量，那么假设H1和H2假设之间的贝叶斯因子为：

或者

式中pt——假设H1成立的条件下t发生的概率；

qt——假设H2成立的条件下t发生的概率。

式（5-3a）等号右边的式子表示的是假设Hp和假设Hq发生的可能性的比率，即LHp/LHq，而式（5-3b）等号右边的式子表示的是假设Hp和假设Hq发生的可能性的对数形式的比率，即LLHp/LLHq。根据式（5-2），B12表示的是理性决策者以观测数据为基础，在运用贝叶斯定理进行投资决策时，为了得到后验概率，先验概率根据概率的相关比率需要变化的情况。为了运算方便，我们选择使用常用对数形式log 10计算LLH值；因此，式（5-3b）表明了由式（5-3a）所决定的先验概率需要变化的数量的数量级。

皮尔逊族中包含的所有概率分布是连续分布而非离散分布，并且每一种分布都具有概率密度函数f（x）的特征而不是概率的有限种可能的形式。在这种情况下，假设H1——收益率序列中的各项是由概率密度函数f（x）分布产生的，假设H2——概率密度函数为g（x），则假设H1和假设H2之间的贝叶斯因子可以定义为：

式中xt——收益率序列中的第t项。

因为假设H1中的分布和假设H2中的分布均为连续分布，因此，就像均匀分布随机变量的精确度为0.5的概率为0一样，得到任何特定的收益率序列的概率为0。然而，概率密度函数f（x）产生的相关数据的概率处于一个很小的时间间隔Δx范围内，并且Δx接近于f（x）Δx。因此，如果我们定义观测值O中包含的T个随机数值均处于时间间隔Δx范围内，并且可表示为x1，x2，…，xT，那么贝叶斯因子B12与其对数形式可近似表示为：

注意：这里的近似表示并非取决于Δx的大小。

转换变量

在Markowitz和Usmen的研究中，进行了如下假定，即

（1）令xt=log（S&P 500t/S&P 500t-1）；

（2）给出了对应每一种xt的最大化似然函数（LH）值时相应的皮尔逊分布形式；

（3）计算（2）中给出的皮尔逊分布和其他分布之间的贝叶斯因子。

尤其是，如前所述，根据这种方法进行计算时，具有的贝叶斯因子和使用极大似然法估计的正态分布对于自由度为4~5的学生式t分布来说，是最优选择。在前面的章节中，我们讨论了x的各种可能的定义以及各种皮尔逊分布形式，尤其是，在x分别等于（1+R）、log（1+R）和（1+R）α（其中α为任意值）的条件下，我们分别计算了各种皮尔逊分布的似然函数（LH）值和对数似然函数（LLH）值，后面我们会具体讨论概率密度函数f（x）中自变量x的各种形式及其产生原因。在此我们进行了纯粹技术上的讨论，即若自变量x被重新定义，那么概率密度函数将如何变化。

概率密度函数f（x）是累积概率分布函数F（x）的导数，即

其中，F（x）表示随机抽取的数据不超过x的概率，如果我们用一个新变量y来表示，即

并且，对于所有的y而言，其一阶导数均大于0，即

所以：

表示随机抽取的y的数值小于某些指定值y0的概率；换句话说，即运用式（5-7a）计算：

时，我们需要确定相应的x0和G（y0）=F（x0）的所有解的集合；然而，对于新变量的概率密度函数g［h（y）］而言，这并不成立。当然：

关于y的概率分布的假设同时也是关于x的概率分布的假设。例如，如果：

y=log（x）

那么关于y的概率分布的假设即为y服从正态分布（其均值为m，标准差为σ），这与x服从对数正态分布的假设是相同的，此时，x和y的密度函数分别为：

因为式（5-11b）中包含因子x-1，所以我们分别以log［f（x）］的总和与log［g（x）］的总和为基础计算的对数似然函数（LLH）值是不同的，那么，哪一个结果是正确的呢？这个问题的答案就是只要所有的假设运用的变量是相同的，那么任何一种计算方法都是正确的。例如：Markowitz和Usmen的研究中只讨论了log（1+R）的一种概率分布形式；因此，他们讨论这个变量的各种概率分布形式也是可行的。相反地，本章讨论了（1+R）、log（1+R）和（1+R）α（其中α为任意值）三种情况下的皮尔逊分布。就像比较苹果和橙子一样，或者，这种情况下更为恰当的比喻是，就像比较美元、英镑和欧元时，我们需要将所有的货币形式转换成统一的货币形式之后再进行比较一样；而如果我们对（1+R）、log（1+R）和（1+R）1/2三种条件下的密度的对数值进行比较，我们需要将所有的密度表示为x=（1+R）后再进行比较。