复合假设
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截至目前，我们已经分别讨论了简单假设和复合假设条件下的主观概率变化时的贝叶斯因子的相关内容：在简单假设的条件下，我们认为观测值是由某种特定的概率分布产生的，例如，具有特定均值m0和标准差σ0的正态分布N（m0，σ0）；而在复合假设的条件下，我们认为观测值是由一组分布中的某些分布产生的，例如，假设HN中的x可能是由某一正态分布产生的，而假设HS中的x是由某一学生式t分布产生的。
在计算复合假设——像假设B（HN，HS）条件下的贝叶斯因子过程中，我们会遇到在计算简单假设条件下的贝叶斯因子过程中不会遇到的问题，尤其是，复合假设条件下，针对先验概率在假设的分布族中如何分布的问题，我们需要做出各种可能的假设；例如，复合假设B（HN，HS）取决于总体的先验概率是否符合各种假设HN，以及各种假设的分布之间是如何实现主观概率的转变的。Akaike（1974，1977，1979）、Schwarz（1978）和Alparslan等学者已经提出了求解复合假设条件下的贝叶斯因子的方法。3正如我们在下一节结尾部分的总结一样，Markowitz和Usmen研究表明，即使与假设HK（具有尖峰特征的第Ⅳ种类型的分布）相比，决策者对先验概率的假设非常有利于假设HN，但是最终的贝叶斯因子B（HN，HS）表明：假设HN比假设HK先验概率需要变化的程度更大。
本节中，我们不会对复合假设条件下的贝叶斯因子的各种方法的优缺点进行相关评价。但是在本章的实证研究一节（即“总体样本的近似极大似然分布”一节）中，我们主要研究了“在单一假设条件下，哪一种贝叶斯因子可以提供更好的答案”的问题。
皮尔逊族
Markowitz和Usmen报告的皮尔逊分布之间的贝叶斯因子，其计算过程中的等于标准普尔500指数的日对数收益率，即x=log（S&Pt/S&Pt-1）。Markowitz和Usmen将他们选择的样本进一步分为四个子样本，包括：
S1（工作日收益率）：从前一天收盘时的收益率到第二天收盘时的收益率；
S2（周末收益率）：从星期五收盘时的收益率到星期一收盘时的收益率。
此外，他们还定义了另外两种子样本。
以Markowitz和Usmen样本容量最大的子样本S1为基础，我们阐述了皮尔逊分布的一些特征。
皮尔逊分布族由概率密度函数f（x）满足下面的微分方程的一组概率分布组成，即满足：
皮尔逊认为式（5-12）拥有各种“类型”的解，一些解被称为“分布”或者称为“特殊条件下的分布”，而其他解不是这样。例如，皮尔逊Ⅳ型分布并不具有标准的分布形式，因而被称为“分布”，但是，特殊条件下其呈对称分布的特征，因此被记为皮尔逊Ⅲ型分布，俗称为“学生式t分布”，依此类推，柯西分布是学生式t分布的特殊形式。Stuart和Ord（1994）著作的第6章中对式（5-12）以及式（5-12）的解进行了深入且广泛的研究，并且在Stuart和Ord（1994）著作的索引中，对特殊形式的皮尔逊分布的进一步研究情况进行了详细的阐述，如皮尔逊Ⅰ型分布、皮尔逊Ⅱ型分布等。
为了便于求解式（5-12），我们用X替代公式中的（x-a），即令：
X＝x-a
将X=x-a代入式（5-12），并将公式改写为对数logf的形式，即
其中：B0=b0+a2（1+b2）
B1=a（1+2b2）
B2=b2
上述公式的一般解取决于：
（1）B2=b2=0是否成立；
（2）如果B2≠0，式（5-13）等号右边的分母中包含的二次项（即B2X2）的根是实数根还是复数根：如果二次项的根为实数根，式（5-13）的解进一步取决于①实数根的符号相同（即同号）；②实数根的符号不相同（即异号）；如果二次项的根为复数根，那么式（5-12）和式（5-13）的解的相关密度函数分别在正负两个方向上无限延伸，这与“对于实数X的任意值而言，式（5-13）的分母不可能为0”的事实是一致的。如果式（5-13）等号右边的分母的根为同号的实数根，那么f（x）=0的解会在某一方向（正向或负向）上超出x的限制范围；如果式（5-13）等号右边的分母的根为异号的实数根，那么f（x）=0的解会超出x的限制范围的上限和下限。
在子样本S1的情况下，所有的皮尔逊分布H的贝叶斯因子B（，H）均小于1010，其中，是极大似然估计的皮尔逊分布，即皮尔逊Ⅳ型分布，并且包括其皮尔逊Ⅶ型分布的对称分布的特殊情形。皮尔逊Ⅳ型分布和复数根相联系，因此，具有分别在正负两个方向上无限延伸的密度函数。令：
其中，M3是度量相关分布偏度的方法，而M4是度量相关分布峰度（“尖峰厚尾分布”）的方法。对于正态分布而言，M3=0且M4=3。本书的表5-1列示了与Markowitz和Usmen（1996b）著作中的表3-1a相同的内容，即表5-1中分别列示了子样本S1的均值、标准差以及在不同水平的M4数据集下，利用皮尔逊Ⅳ型分布并运用极大似然法估计的M3的值，此外，表5-1中还列示了皮尔逊Ⅳ型分布的LLH的值、LLH-LLH的最大值和贝叶斯因子，即
表5-1 M4各种取值条件下运用极大似然法估计的参数组合，日收益率（S1）
①正常情况下，M3=0。
资料来源：Markowitz and Usmen（1996b），Table 3.
在表5-1中，第一行给出的正态分布的相关信息是唯一例外的分布，此正态分布是表中唯一列示的M3=0并且M4=3的分布。例如，从表5-1中我们可以观察到：运用极大似然法估计的M4的值（大约为12）与子样本S1中M4的值（Markowitz和Usmen著作中列示的M4=5.69）并不相等。实际上，M4=12的皮尔逊分布和M4=5.69的极大似然皮尔逊分布之间的贝叶斯因子要高于1500。此外，分布和M4=5.69的极大似然皮尔逊分布之间的贝叶斯因子仅为3.72。
以Markowitz和Usmen（1996b）著作中的表6-6a为基础，本书的表5-2列示了和表5-1中列示的均值、标准差、固定的M4的值以及其极大似然估计值相同的但M3的值是变化的各种分布的LLH值、LLH-LLH的最大值和贝叶斯因子，尤其是，表5-2显示：分布和M3=0.0的对称分布的贝叶斯因子为1.06，因此，极大似然皮尔逊Ⅳ型分布和对称分布（学生t分布）之间的先验概率只需要改变6个百分点。
表5-2 当M4取表5-1的极大似然值时，M3的均值、方差、方差极大似然函数情况，日收益率（S1）
①M3的极大似然值。
②M3样本。
资料来源：Markowitz and Usmen（1996b），Table 6。
当总体分布的标准差未知，但必须通过所抽取的自由度为Df的样本估计总体的标准差时，学生式t分布常常被用于该正态分布样本的均值的显著性检验，在这个统计检验过程中，自由度Df为整数，但是该分布被定义为关于自由度Df的非整数形式的函数，M4和Df的关系如下：
由式（5-15）可以看出，随着Df→∞，M4→3，并且学生式t分布近似于正态分布；当Df≤4时，M4是无限的。
表5-3［摘录自Markowitz和Usmen（1996b）著作的表6-7］的第1列和第2列分别列示了各种自由度的学生式t分布和对应的M4的值，第3列列示了相应的对数似然函数（LLH）的值，这里运用的均值和标准差为在具有特殊自由度的学生式t分布条件下的极大似然估计值。观察表5-3，我们可以看出：自由度Df=4.5的学生式t分布是（接近）最好的分布，此时M4=15，并且其LLH＝44.402仅仅比LLH的最大值44.415小0.013；当学生式t分布的自由度Df=4且M4无限时，其LLH的值为43.669。因此，在M4是无限的条件下，极大似然学生式t分布和极大似然皮尔逊Ⅳ型分布之间的贝叶斯因子要低于一个数量级，而正态分布的贝叶斯因子为44.4-（-29.8）＝74.2数量级。
表5-3 Markowitz和Usmen研究数据条件下的学生式t分布的自由度、M4和LLH，日收益率（S1）
资料来源：Markowitz and Usmen（1996b），Table 7。
本节中的表5-1、表5-2和表5-3描述的是：在简单假设条件下，极大似然学生式t分布和极大似然正态分布等分布的比较结果。此外，Markowitz和Usmen同时也比较了复合假设HN——log（1+R）由某一正态分布产生，以及假设Hk——log（1+R）由某一M4≥12的皮尔逊Ⅳ型分布产生的研究结果。关于先验概率，（我们认为）Markowitz和Usmen给出了几个似乎合理的假设，例如，运用贝叶斯定理进行相关计算时，Markowitz和Usmen假设M4处于［12100000］范围内的先验概率至少是很小的（而且经过计算，他们得出结果假设这个先验概率为0.01），并且经过计算，他们得出的贝叶斯因子B（HK，HN）至少等于1064，这个结果和正态分布条件下的结果相悖，但是与某一M4≥12皮尔逊Ⅳ型分布的结果相一致。
如果自由度Df≤2的学生式t分布是具有无限方差的分布，那么这种情况下运用均值-方差分析法是没有意义的。表5-3显示：对子样本S1而言，贝叶斯因子约为1039的结果和M4＝2的结果不相符，但却和M4＝4.5的结果相一致。类似于前面对复合假设HN和HK的分析表明：运用贝叶斯定理进行决策的投资者需要变化的先验概率是较大的，这与复合假设认为的“标准普尔500对数收益率呈现出的某一具有无限方差的皮尔逊分布”的观点不相符。
稳定的帕累托分布族是当方差无限时对皮尔逊分布族的一种替代，并且只包括①正态分布和②具有无限方差的分布两种分布形式。因此，如果投资者假设某一收益率分布是稳定的帕累托分布并且拒绝该分布服从正态分布的假设，那么可以推断出该分布服从具有无限方差的分布。Alparslan等学者发现，复合假设条件下，运用贝叶斯定理进行决策的投资者需要变化的先验概率的程度是比较大的，这个结论和y=log（S&P500t/S&P500t-1）是由某一稳定的帕累托分布产生的假设不相符，但与y=log（S&P500t/S&P500t-1）是由某一学生式t分布产生或皮尔逊Ⅳ型分布中的其他分布产生的假设相符合，结合前面所述的Markowitz和Usmen的研究结果，我们可以看出：无论假设收益率分布服从皮尔逊分布还是稳定的帕累托分布，运用贝叶斯定理进行决策的投资者需要变化的先验概率的程度是比较大的这一观点，与y是由具有无限方差的分布产生的复合假设都不相符。
从本卷的第3章和第4章中，我们可以看到，均值-方差逼近中运用资产组合（如大盘股）的年收益率逼近EU=Elog（1+R）是没有问题的。如本卷第2章所述，列维和马科维茨（1979）认为：当Δt无限变小时，均值-方差逼近会变得更加准确。所以，运用标准普尔500指数的多头市场的日收益率并且在效用曲线为典型的凹形曲线U（R）的条件下，均值-方差逼近期望效用（EU）是没有问题的，但是，如果某一个复杂且高杠杆的投资策略是以标准普尔500指数的收益率分布服从对数正态分布的假设而提出的，那么正如许多学者发现的那样，这种情况所带来的结果将是灾难性的。
DMS的研究数据
表5-4a和表5-4b分别列示了19个国家的收益率的相关情况，其中16个国家是Dimson等学者在其相关研究中最初报告了20世纪（1900~2000年）的收益率的国家，其他3个国家是Dimson等学者在其后续研究中新增加的国家，并且反映了其最近期间内的收益率情况。在本章中，虽然我们选择分析研究上述19个国家的收益率情况，但是为了与本卷第3章和第4章的内容具有可比性，我们选择的研究期间仍然是1900~2000年的实际收益率。
表5-4a 样本矩和X=（1+R）条件下的皮尔逊分布类型
资料来源：Dimson，Marsh，and Stauton，database supplied by Morningstar.
表5-4b 样本矩和X=log（HR）条件下的皮尔逊分布类型
资料来源：Dimson，Marsh，and Stauton，database supplied by Morningstar.
表5-4a分别列示了每一个国家的收益率的算数平均值、标准差、M3和M4，以及19个国家的所有的实际年收益率（即总体）的算数平均值、标准差、M3和M4，我们将后者视为从贝叶斯所假设的概率分布中抽取的样本，其中贝叶斯条件下意味着同一投资组合在下期的实际收益率可以由这19个国家的一个或另外一个收益率分布得到。
表5-4a中，除了两个国家——澳大利亚和美国的M3<0外，其他17个国家的M3>0，即表明大多数国家的实际收益率分布都服从有偏的正态分布，并且总体的实际收益率分布也服从有偏的正态分布；此外，除了3个国家——澳大利亚、加拿大和美国的M4<3外，其他16个国家的M4>3。
当某一分布的M3和M4均有限时，则该分布属于的皮尔逊分布类型由其M3和M4决定。表5-4a的最后3列指出了20个样本中的每一个样本具有相同M3和M4的皮尔逊分布类型，我们将其称为样本分布的“样本类型”。表5-4a显示：19个国家样本和样本总体中，12个国家的收益率分布以及样本总体的收益率分布的样本型为皮尔逊Ⅳ型分布，4个国家（包括美国）收益率分布的样本型为皮尔逊Ⅰ型分布，其他3个国家收益率分布的样本型为皮尔逊Ⅵ型分布。
图5-1中用数字标记的点描绘了样本中19个国家以及样本总体的M3和M4分布情况，此外，图5-1还描绘了平面内（M3，M4）组合的特定区域所代表的皮尔逊分布类型，随着（M3，M4）表示的区域的变化，概率密度函数公式也随之不断变化；然而，对于具有固定的均值、标准差和自变量x的概率密度函数而言，f（x）是关于M3和M4（M3和M4是有限的）的连续函数。因此，如果两个分布跨越了边界线，那么即使这两个分布的类型和公式是不相同的，其f（x）和F（x）也会无限地接近。
图5-1 样本（1+R）和皮尔逊分布边界
皮尔逊Ⅰ型分布是式（5-13）满足分母具有异号实数根的条件下的式（5-12）和式（5-13）的解，该分布也称为“Ⅰ型贝塔分布”，并且其概率密度函数未超过皮尔逊分布族边界的上限和下限。皮尔逊Ⅱ型分布是对称的皮尔逊Ⅰ型分布。皮尔逊Ⅵ型分布是式（5-13）满足分母具有同号实数根的条件下的式（5-12）和式（5-13）的解。皮尔逊Ⅴ型分布具有相等的实数根，该分布在图5-1中所表示的曲线将皮尔逊Ⅳ型分布和皮尔逊Ⅵ型分布所代表的区域进行了分割。如果式（5-13）满足B2=0，那么式（5-12）和式（5-13）的解是皮尔逊Ⅲ型分布，也称为伽玛分布，该分布分割了皮尔逊Ⅰ型分布和皮尔逊Ⅵ型分布所代表的区域。
如果某一分布是正态分布，那么该分布的M3＝0并且M4＝3。图5-1显示：表5-4a中列示的第1个国家——澳大利亚、第3个国家——加拿大以及第19个国家——美国收益率的样本分布的（M3，M4）接近于（0，3），并且澳大利亚、加拿大和美国的收益率分布的样本类型均为皮尔逊Ⅰ型分布，并且该分布的f（y）=0已经超出了皮尔逊分布族边界的上限和下限。然而，这些分布可能经常被赋予一定的概率水平，例如，Y被赋予的概率水平为Prob（y≤Y）=0.01，使得该收益率分布接近于正态分布，我们将其称为“近似正态分布”。本章下一节中，我们将详细阐述对于“近似正态分布”这种情况而言，如何使得（M3，M4）接近于（0，3）等问题。
表5-4b分别列示了X＝log（1+R）条件下的19个国家的样本收益率以及样本总体的算数平均值、标准差、M3和M4，以及19个国家所有的实际年收益率（即总体）的算数平均值、标准差、M3和M4。在这种情况下，除了4个国家外，其余国家的M3均为负值，并且样本总体的M3也为负值。图5-2显示，X=log（1+R）的样本中，只有少数几个国家收益率的（M3，M4）接近于（0，3），因此其X＝（1+R）分布可能是近似正态分布；而与其例外情况相比，偏差最大的样本即样本总体的收益率的M4约为15，其原因可能是样本总体中含有各种收益率分布。如果y表示某一概率分布的随机变量，并且y本身是由某一分布随机产生的，那么y的均值、标准差、M3和M4为其他矩的函数，例如E（VH）和V（EH），其中，E（VH）表示的是能够生成方差的所有分布的平均值，而V（EH）表示的是能够生成期望值的所有分布的方差。4特殊情况下，这些分布中包含正态分布——具有固定方差和均值的皮尔逊Ⅴ型分布，此时，y服从学生t分布，当然，注释4给出了这些分布的矩计算的一般公式。
图5-2 样本log（1+R）的皮尔逊分布边界