近似正态分布

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表5-4a列示了19个国家于20世纪实际的股票收益率分布情况，其中，美国收益率分布的M3=-0.167和M4=2.642，如果我们假设美国未来期间实际的股票收益率由具有上述M3和M4的皮尔逊分布产生，那么该分布的21/2%低于该收益率的均值与两个标准差的差值是近似准确的吗？一般而言，即该皮尔逊分布的累积概率分布是近似等于常用概率水平的正态分布吗？同样地，以表5-4a为基础，图5-2显示出在y=log（1+R）的条件下，少数几个国家的股票收益率分布的（M3，M4）近似等于（0，3），那么，为了达到使得收益率分布近似正态分布的目的，对于股票收益率分布的（M3，M4）足够接近（0，3）的国家而言，我们就应该认为这里的y服从正态分布，并且（1+R）服从对数正态分布吗？

以收益率分布的M3和M4的各种组合为基础，表5-5a和表5-5b运用低于1%和2.5%水平的皮尔逊分布解决了上述问题，尤其是，表5-5a和表5-5b的Z水平分别为：

Prob（z≤Z）=0.01

和

Prob（z≤Z）=0.025

其中

z=（y-Ey）/σ

表5-5a　低于1%水平的皮尔逊分布

表5-5b　低于2.5%水平的皮尔逊分布

例如，表5-5b显示：在低于2.5%的水平下，对于M3＝0和M4＝3的正态收益率分布而言，相应的记录的z值为1.96而并非恰好等于2.0。表5-5a和表5-5b中每一条记录的下标表示的是皮尔逊分布类型的数字或“N”代表的是正态分布。表5-5传递给我们的信息，即根据图5-1和图5-2中的点所表示的收益率序列方差的范围，观察收益率序列的（M3，M4）接近（0，3）的点，我们可以看出：M3偏离0的水平对（M3，M4）接近（0，3）的程度的影响比M4偏离3的水平对（M3，M4）接近（0，3）的程度的影响更大一些，尤其是在低于2.5%水平下，上述观点恰好成立，并且在低于1%的水平下，上述观点也成立。例如，表5-5b中M3=0的这一列显示，在低于2.5%的水平下，z值从1.92变化到2.00（增加了0.08），并且M4的值从2.6变化到5.0；而表5-5b中M4＝3.0这一行显示，在低于2.5%的水平下，z值从2.41变化到1.00（降低了1.41），并且M3从-1变化到了+1。在表5-5a中，M3＝0的这一列显示，在低于1%的水平下，z值从2.21变化到了2.53（增加了0.32），并且M4的值从2.6变化到5.0；而表5-5a中M4＝3.0的这一行显示，在低于1%的水平下，z值从2.68变化到1.00（当四舍五入后保留到小数点后两位时，此时的1.00和低于2.5%水平下的结果相同），降低了1.68。

表5-5b中，如果我们令M3的固定取值等于-0.3、-0.5或-1.0，那么我们会发现在低于2.5%的水平下，z分数并不是关于M4的递增函数，换句话说，即随着M4的逐渐增加，z分数首先呈现增加趋势，而之后呈现下降趋势。这不禁令我们疑惑，但是我们自己的计算结果与Johnson等（1963）研究中报告的计算结果是一致的。因此，实际上，在这些情况下，一些随着M4增加而平移至1%水平的左侧的“厚尾”分布是由原来处于1%水平和2.5%水平之间的分布平移而来的，这恰好印证了我们之前的计算结果，即与1%水平下的z分布相比，2.5%水平下的分布的z分数更倾向于由收益率分布的M3和M4所决定。

观察表5-5a和表5-5b中的线性插值点，我们发现，在1%和2.5%水平上，具有相同M3和M4的皮尔逊分布的是下表中所示的三个“近似正态”的样本分布，即

这是与正态分布的临界值2.33和1.96相比较的结果。因此，为了回答本节第一段中提出的问题，具有相同M3和M4的皮尔逊分布——例如美国，在1%和2.5%的水平下，其20世纪的股票收益率的实际分布非常近似于正态分布，至于这种结果是否会一直延续到从现在开始计算的之后的101年，无论何时，对于现在的读者来讲，都是值得思考和讨论的问题。