总体样本的近似极大似然分布

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本节中，我们主要分析生成总体样本的最可能的分布形式。如果现实收益率数据是右偏的，其表现出的特征并不让我们惊讶：总体样本（以及大多数国家）的实际收益率分布为右偏分布，因为人们所期望的收益率分布正是近似对数正态分布或对数学生式t分布。然而，我们却惊讶地发现：包括总体样本分布在内的大多数log（1+R）分布却是左偏分布，这意味着为了使得M3的值介于（1+R）和log（1+R）之间，我们需要尝试对研究变量做出某种转换，一种很自然的选择似乎是：

一方面，因为当α=1时，yα=（1+r）；另一方面，随着α↓0，yα的M3和M4的值近似等于log（1+r）。5

表5-6列示了总体样本分布的算数平均值m、标准差σ、y＝log（1+r）条件下的M3和M4的值以及α取任意值时的（1+r）α。从表5-6中我们可以看出，当y=（1+r）0.4时，总体样本分布的M3＝0；然而，为了满足每一α条件下的极大似然分布条件，当α的取值发生变化并且总体样本分布的算术平均值m、标准差σ以及y=log（1+r）条件下的M3和M4的值已被选定时，当α=0.5时，这些变量具有最大值。表5-7的前七行中，列示了总体样本的极大似然分布6：y=log（1+R）以及α=0.1、0.3、0.5、0.7、0.9和1.0条件下的（1+R）α的解的相关信息；最后两行分别列示了极大似然对数正态分布和对数学生式t分布的相同的信息。表5-7中，第1列列示了各种y分布的变化形式；第2列列示了y分布的变化形式的极大似然对数估计值（LLH）；第3~7列分别列示了相应分布的算数平均值m、标准差σ、M3和M4的值以及与这些转换变量相对应的皮尔逊分布类型，例如算数平均值m、标准差σ、M3和M4以及y=log（1+R）的分布类型；最后四列分别列示了（1+R）总体样本条件下对应分布的算数平均值m、标准差σ、M3和M4的值。包括表5-7中的倒数第二行，前四列记录了对应的极大似然正态分布y=log（1+R）的m=0.05、σ=0.22，当然还有M3=0.00和M4=3.00；然而，其对应分布（1+R）为对数正态分布，该分布的算数平均值等于1.078，标准差等于0.25，M3的值等于0.69，M4的值等于3.87。

表5-6　总体样本矩和转换变量的皮尔逊分布类型

表5-7　各种对数极大似然分布的矩、皮尔逊分布类型和LLH值

表5-7中第二列表明：y=log（1+R）和y=（1+R）α（其中，α=0.1、0.3、0.5、0.7、0.9和1.0）条件下的极大似然分布的LLH值的变化非常小。y=（1+R）1/2时，LLH拥有最大值91.87；而y=（1+R）0.1时，LLH拥有最小值91.22。因此，这些分布之间的贝叶斯因子的最大值等于100.65＝4.47，与之相比，极大似然y=（1+R）1/2分布和LLH等于90.72的极大似然学生式t分布之间的贝叶斯因子是比较高的，即等于101.15＝14.13。这些分布中的任一分布和极大似然对数正态分布之间需要进行的转换程度是非常大的，即y=log（1+R）服从正态分布，该分布的LLH值约为21，因此对应的贝叶斯因子约为1070，这种情况下，并没有排除单一国家的收益率分布可能为对数正态分布的情况，但是总体样本分布一定不是对数正态分布。

图5-4在四种假设条件下，描绘了（1+R）总体收益率分布的累积分布情况，其中，关于极大似然分布的四种假设如下。

（1）y=log（1+R）服从正态分布；

（2）y=log（1+R）服从学生t分布；

（3）y=（1+R）1/2服从某种皮尔逊分布；

（4）（1+R）服从某种皮尔逊分布。

针对上述四种假设进行极大似然估计的结果表明，后三种假设条件下的结果比较接近，但第一种假设（即对数正态分布）条件下的结果和其他三种情况是不同的。尤其是，如果假设y=log（1+R）服从M4=26.6的学生式t分布（因为学生式t分布统计表很容易获得），而实际上y=（1+R）1/2服从M3＝0.5且M4＝18.6的皮尔逊Ⅳ型分布时，可以被接受的误差不会很大。

图5-4　各种假设条件下的收益率的累积分布