时间结构和今天的选择

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一个简单的例子可以说明：

（1）“本期”收益，与

（2）随后时期的机会

的联合分布（joint distribution）是如何影响今天的投资组合选择的。考虑如下的三个时点（分别记为0、1和2）的博弈，这三个时点分别为两个时间区间（或时期，记为1和2）的起点和/或终点：

在时点0，投资者具有初始财富W0，他选择时期1的收益R1的一个概率分布。在R1产生后，投资者再次将自己的财富

进行投资（没有交易成本），获得收益R2。投资者最终的财富为

投资者寻求W2的一个均值方差有效分布，这个分布使凹效用函数U（W2）的期望值近似极大化。

在时点0，有两个投资组合可选择。投资者只能在二者中选一，而不能将资金同时分配到二者上。两个投资组合在时点1（时间区间1的终点）的价值取决于某个事件的结果（A或B），如下所示。

表中，a和b代表美元数，b≠0。在时点1，只有一个投资组合可选择，该投资组合有确定的回报：

a+b，如果A在时间区间1发生

a-b，如果B发生

因此，如果在时点0选择投资组合1，那么最终财富有50-50的可能性等于[1]

而如果选择投资组合2，那么最终财富将确定等于

因为

因而投资组合1有更高的W2期望值。

然而，如果选择投资组合2，那么W2具有零方差。投资者在时点0在这两个投资组合之间的选择，取决于他对W2风险和收益的权衡，后者又取决于他的效用函数U（W2）。

上述是一个假设的例子，表明了不同投资组合本年收益可能如何与下年（或随后年份）的投资机会产生不同联系。本节的余下内容将介绍实践中产生的两种这样的情形。

第11章介绍了马科维茨和范戴克（Markowitz and van Dijk，MvD，2003）提出的近似极大化一个投资消费博弈期望效用值的（MvD）试探法，该博弈的预计收益分布是可变的。这一方法是在马科维茨（具有优化方面的专长）担任埃里克·范戴克（Erik van Dijk）顾问的情况下产生的，后者具有预测方面的专长。第11章重新描述了马科维茨和范戴克（2003）介绍的假设性例子。这个例子包含两种资产，分别为1种“股票”和现金，还包含了一个能够处于从极度悲观到极度乐观5种状态的股票预测模型。股票收益的均值和方差取决于预测模型的预计状态。模型给出了从一个预计状态到其他预计状态的转移概率，也考虑了调整投资组合时有交易成本的问题。第11章还对克里兹曼、米尔格伦和佩奇（Kritzman，Myrgren，and Page，2009）应用MvD算法调整道富银行（State Street Bank）和其他机构管理的投资组合进行了介绍。

在MvD的试验中，以及在克里兹曼等报告的一些试验中，可能的系统状态数足够少，从而可以计算每一状态下的最优行动。MvD和克里兹曼等比较了最优解、MvD试探法和其他试探法下整个博弈的期望效用。与最优策略相比，MvD试探法表现良好，并且MvD试探法要远好于其他常用的试探法。因此，像最优策略一样，MvD试探法比其他试探法更好地说明了投资组合选择的跨期环境。

在一个不同的领域，麦考利（Macaulay，1938）、费雪和维尔（Fisher and Weil，1971）各自考虑了这样一种情形：投资者希望拥有一只在年内一次性还本付息的债券，但这样的债券是不可得的。麦考利将今天所谓的“麦考利久期”定义如下

其中，TM是麦考利久期；TMAX是直到距离现在最久远的支付的时期数（例如月份数）；ti是直到第i次支付的时期数；PVi是第i次支付额的现值；V是这样的现值的总和。麦考利针对平坦的收益率曲线（而费雪和维尔针对倾斜的收益率曲线）证明，如果收益率曲线平行移动，那么当时债券投资组合在时期的价值确定至少为V。

因此，即使没有人有能力预测股票，基于数学而非经验上的原因，固定收益工具仍然具有重要的跨期关系。

[1] 尽管原书中没有指明，但从这里可以看出，在时期1出现结果A和B的机会均为50%。——译者注