博弈论中的概念

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如冯·诺依曼和摩根斯坦（1944）所定义的，博弈（game）一词是指一组规则。要将博弈和博弈特定的弈局（a play of the game）区分开来。例如，定义“国际象棋”博弈的规则包含了设置棋盘、谁先走棋、在特定情形中什么样的走棋是允许的、棋手走一步棋花费的时间可以是多久，以及类似的规定。在这个严格的意义上，允许棋手通过电子邮件来决定第二天的棋步的规则，定义了一个与只允许棋手花上若干分钟来完成特定棋步数的规则所定义的不同的博弈。

在日常语言中，通常并不区分作为一组规则的博弈和该博弈特定的弈局。比如一个人问：下一盘棋如何？但冯·诺依曼和摩根斯坦（vNM）需要对二者进行区分，他们选择博弈这个词来表示一组规则，以与一个特定的弈局相区分。当这种区分十分重要时，我们就对二者进行区分。但当根据上下文博弈的含义是清晰的时候，我们经常发现忽略这种区分是无妨的并且特别方便，并且我们说例如一个特定事件“结束博弈”（ends the game），而不说或许让人感到莫名其妙的“结束弈局”（ends the play），或者冗长的“结束博弈的特定弈局”（ends the particular play of the game）。

一个多期博弈由每个参与人的一系列行动（moves）构成。vNM假设这些行动是序贯做出的，即便在很自然地认为它们是同时发生时也是如此。例如，在一个“剪刀、石头、布”的两人博弈中，每一个参与人都选择三个选项中的一个，两个参与人的决策是同时显示的。但一个人可以认为这些行动是序贯发生的，因为博弈的规则可能明确指出，第二个参与人可获得的行动信息，并不必须包含第一个参与人已经做出的决策。我们的正式分析将遵循行动是序贯做出的这一传统。

vNM将策略定义为指定博弈参与人任何时候的行动选择是其当时可行机会和可得信息的函数的一组规则。因此，一个完全信息的确定性两人零和博弈（即没有随机因素，每个参与人之前的行动对另一个参与人都是已知的，并且一个参与人的损失是另一个参与人的收益的博弈），可由一个单一的（或许是非常大型的）支付矩阵（payoff matrix）Π=（πij）来描述。矩阵Π第i行第j列的元素说明了当参与人1选择了其第i个可能策略而参与人2选择了其第j个可能策略时，参与人1从参与人2那里得到的正或负收益。

当完全信息两人博弈的结果既依赖于参与人的策略选择又依赖于随机因素时，支付矩阵显示的是每个参与人的期望收益或损失。这假定每一个可能的结果都是零和的。当每个参与人都极大化一个非线性效用函数的期望值时，情况就发生变化。例如，如果博弈是投掷一次硬币以得到100美元，每个参与人都有一个严格凹的效用函数，那么两个参与人从博弈中得到的期望收益都是负的，并且如果可以选择的话会拒绝参与博弈。一般而言，如果博弈不是零和的，或者博弈有n>2个参与人，那么每个参与人都有自己的支付数组。支付数组表明了第I个参与人的期望效用EUI（i1，i2，…，in），它是每一个参与人所选择策略的函数。

冯·诺依曼和摩根斯坦对博弈的标准型（normal form）和扩展型（extensive form）进行了区分。1他们所谓的扩展型，我们称之为展开型（extended form）。例如国际象棋博弈的一个特定弈局，其展开型通常被描述为：

标准型用到这样一个事实，即可供白方选择的策略数NW很大但有限，并且可供黑方选择的（或许是不同的）策略数NB也是有限的（只有有限种可能的棋局，以及如果相同的局面出现3次就宣布为平局的事实，确保了博弈在有限次行动后结束，从而确保只有有限个可能的策略）。如果两个理性的对手进行标准型国际象棋博弈，白方将从1到NW中选择一个号码，黑方将从1到NB中选择一个号码。他们将策略号码交给裁判，然后裁判参考支付矩阵（Π）宣布白方获胜或黑方获胜或平局。如我们将在有关怎样利用动态规划原理求解这样一个博弈的讨论中所表明的，每一个RDM在博弈开始之前即知道博弈的结果，因而他们不会参与国际象棋博弈。