尺度调整策略

《风险-收益分析：理性投资的理论与实践（第2卷）》尺度调整策略,页面无弹窗的全文阅读!

如在第1章中看到的，就个体的偏好而言，效用函数的递增线性变换给出等价的效用函数。但通过某个符合MB公理的选择函数，如算术或几何平均效用，递增的线性变换可能会影响个体偏好的候选人的排序。特别地，如果我们将初始效用赋值u表示为新的效用赋值的一个线性函数

那么式（10-19）中的排序函数就变成

相应地

从而

因此，ai的选择不影响的符号，但bi的不同选择却可能改变它。

如果我们选择

ai=0

bi=1/βi

那么式（10-20a）就变成

因此，如果按一种尺度调整，母亲和父亲的效用均被认为是孩子效用的k倍，而按另一种尺度调整，他们对社会选择的影响又被认为与孩子是相同的。

接下来，考虑尺度调整对式（10-17）中对数平均值规则，或等价地，对由GM定理2改写得到的MB定理2中乘积规则的影响。作为一个可分的（函数求和）表达式，前者或许更为显而易见。如果ui等于一个非零常数乘以，那么反过来同样有

注：原书中为，疑有误，更正为此。——译者注

并且我们得到

由于式（10-22b）右侧的第一项不依赖于ui，第二项不依赖于bi，因而乘以常数不影响效用向量之间的比较。

然而，将常数ai加到ui上，即使是将同一常数加到每个ui上，从而有

也可能对u的排序产生重要影响。例如，想象a在0和某个（正或负的）常数之间变化。于是

特别地，当a=0时

因此，投票者效用ui的一个小变化对V的影响，与ui的大小成反比。

投票团体

一些时候，将投票者群体视为投票团体是非常有用的。我们将任何有两个或更多属于同一分类的投票者的集合定义为一个投票团体。投票团体的例子包括父母v.s.孩子、养老金计划投资组合选择中的政府雇员vs.纳税人vs.其他利益相关者，以及美国各州的投票者。如果一个分类产生了K个投票团体，那么MB定理1中的f（u）可以写成

其中

因此，在两个候选人u和v之间选择，只要像式（10-25）那样定义候选人对投票团体的效用，那么投票就可以在投票团体而非个体之间进行。

卢斯、雷法和纳什（LRN）选择规则

卢斯和雷法（Luce and Raiffa，1957）对阿罗、希尔德雷斯，以及古德曼和马科维茨在社会选择方面的工作进行了评述，并给出了他们自己在这一领域的建议。他们的建议是对两人讨价还价问题纳什解的推广，因此我们将其称为卢斯、雷法和纳什（LRN）规则。具体而言，它的排序标准是

其中，是依附于投票者i最低限度可接受的某个候选人的效用。特别地

卢斯和雷法指出，由式（10-26）确定的排序不受线性变换中αi和βi选取的影响，因为

也即V是U的倍数，从而表明线性变换不改变效用向量的排序，但效用向量的排序的确取决于。特别地，卢斯和雷法提出的规则，仅用于对

的向量进行比较。因此，LRN规则并不满足我们有关社会排序规则应能对每一个可行的向量进行排序的最低要求，但他们将社会选择建立在纳什讨价还价解的基础上的想法却值得探究。