纳什对称性
《风险-收益分析：理性投资的理论与实践（第2卷）》纳什对称性,页面无弹窗的全文阅读!
式（10-26a）中的LRN标准建立在两人讨价还价问题纳什解的基础上。纳什基于8个假设推导出两人讨价还价问题的解。前5个假设意味着：①两个讨价还价者中的每一个都寻求最大化期望效用；②两人讨价还价问题的解是可得效用对（u1，u2）的函数。符合MB公理的社会排序同样符合纳什分析的这一结论，因为它是MB公理0的一部分。而且，我们还将看到纳什的假设6和7与MB公理0和1是类似的，尽管它们并不完全相同。对于当前的讨论，它们之间的差异是无关紧要的。让我们感兴趣的是纳什的第8个假设，即与MB公理2不同的对称性假设。我们将会看到，这个替代性的对称性假设相当有吸引力，但它既不与MB公理2兼容，也不与MB公理3兼容。在本节中，我们主要关注的是符合MB公理0和1，以及纳什对称性条件的社会选择函数。
我们将证明，给定纳什或我们的前提假设，纳什的结论是有问题的。具体而言，他得出结论认为“乘积规则”对于满足他的假设是必要和充分的。而我们将证明一大类函数f（u1，u2），更一般地，f（u1，…，um）满足这些假设。在这些函数中，存在一个简单且易于阐释的子集，我们建议社会选择领域的学者和生命周期博弈DSS的设计者对其进行考虑。
纳什的阐述和我们的有一些区别，因为双方强调的问题有所不同。特别地，在两人讨价还价情形中，有可能没有达成协议。在这种情况下，两个参与人的效用不变，仍然为。显然，没有参与人有激励接受的报价。纳什相当合理地调整了ui函数的尺度，使得
对讨价还价者1而言，解（0，0）与解（0，1）是同样好的。如果（0，1）是讨价还价者2的最好报价，那么结果可能就是（0，0）。特别地，纳什的假设6，他的帕累托最优假设，比MB公理1更强。纳什的假设6是：
假设6.设α是S中的一个点，如果S中存在另一个点β，满足u1（β）>u1（α）并且u2（β）>u2（α），那么α≠c（S）。
在上述假设中，S是可得的（u1，u2）向量集。纳什假定S是“紧的、凸的，并且包含原点”。c（S）是两个讨价还价者接受的“选择”。对比纳什的假设6和MB公理1，可以看出，按照MB公理1定义的向量v对向量u占优，按照纳什假设6的定义可能并不成立。纳什的假设7是：
假设7：如果集合T包含集合S，并且c（T）在S中，那么c（T）=c（S）。
只要做出的选择使选择函数f（u）最大化，就能满足假设7的要求。纳什的假设8有一个解释性的引言：
我们说集合S是对称的，如果存在效用算子u1和u2，使得当（a，b）包含在S中时，（b，a）同样包含在S中，也即是说，使得S的图形关于直线u1=u2对称。
假设8：如果S是对称的，并且是u1和u2显示出这一点，那么c（S）是形如（a，a）的一点，也即直线u1=u2上的一点。
我们称假设8为纳什对称性，并将之视为一个非常有吸引力的社会选择条件。例如，假设在GM的“茶还是咖啡”例子中，一个客人分别为茶和咖啡赋予效用u和v，而另一个客人则分别将相同的效用水平（对称地）赋予咖啡和茶，那么纳什的答案将是通过掷硬币来确定（提供咖啡还是茶）。
然后纳什说，“我们现在证明这些条件要求解为第一象限集合中的点。在这一点，u1u2实现了最大化”。这是不正确的。如下面将要证明的，它是充分但非必要的：
引理 设u=（u1，u2），如果f（u）满足如下条件：
a.f（u）定义于所有可行的u；
b.f（u）是严格递增的。也即是说，对任意可行的u和v，如果u≥v并且u≠v，那么f（u）>f（v）；
c.f（u）是严格凹的，也即对所有可行的u和v（u≠v）以及任意的α∈（0，1），有f［αu+（1-α）v］>αf（u）+（1-α）f（v）；
d.对所有可行的（u1，u2）向量，f（u1，u2）=f（u2，u1）。
那么f（u）满足纳什的所有8个假设。
f（u）同样满足这样一个公理系统：它以MB公理1取代纳什的假设6，并保持纳什的其他假设不变。符合上述引理中条件的函数例子包括如下形式的f（u）
其中，g是严格递增和严格凹的函数。
引理证明
纳什的前5个假设由f是两个（或m个）投票者效用的函数这一假设来满足。因为f是严格递增的，纳什的假设6也是满足的。如果选择是根据数值排序函数而做出的，那么假设7也能满足。我们将证明f是对称和严格凹的，确保假设8得到满足。这一假设是说，如果集合SA是对称的，那么选择将位于对角线上。但纳什没有假设SA是对称的，而只是假设它是紧的、凸的并且包含原点。这样的话，除原点之外，集合SA可能不包含任何对角线点。为证明引理，假设SA事实上是对称的。换言之，如果
u=（u1，u2）
是可得的，那么
v=（u2，u1）
也是可得的。引理的条件d表明
f（u）=f（v）
f是严格凹的意味着
而位于对角线上。由于式（10-30）对任何不在对角线上的u均成立，因而引理得证。
证明完毕
纳什最大化u1u2的标准，与g（ui）=log（ui）时式（10-29）是等价的。如果S不是对称的，那么选择不同的严格凹和严格递增的g（ui），可能导致不同的选择c（S）。
一项建议
如果u是m维向量，m≥2，那么纳什对称性由
展示。其中，g为任意严格凹和严格单调的一元实变量函数。第2～4章说明了这类函数的二次逼近通常是相当稳健的。因此，我们提请读者考虑运用F（u）的二次逼近，即
其中，q是所选择的凹二次函数，在有关范围内它的导数为正，即
我们不拟介绍式（10-32）中Q（u）用作社会排序函数的充分必要公理或条件。这些公理或条件通常能提供丰富的信息，如果它们可获得的话，但它们并非必需的。就像购买房子或汽车，人们可能有一系列的最低要求，但除此之外，人们基于各种属性做决策，一些人喜欢这种选择，而其他人则喜欢其他的选择。
如在第2～4章详细讨论的，式（10-32a）中Q（u）均值的最大值是EV有效的，这里E表示效用的均值
V表示效用的方差
除依据社会排序函数决策外，也可从E（u）、V（u）有效集中进行选择。GM定理1选择EV有效边界中E（u）最大的点，而GM定理2选择的则是近似最大化logu均值的点。这种方法要求参与者有显式的效用函数，但允许社会选择函数是隐式的。
在选择收益分布时，E和V之间的权衡被称为风险规避。在社会选择中，应将其视为不平等规避。展示平均效用与“不平等”之间权衡曲线的图形，会自然而然地使用u的标准差
而非方差。在交互式系统中，观察者应能够从这条（u的均值与离散程度）权衡曲线上选择特定的点，并且应能看到相应u分布的直方图或密度函数图。
如果非对称地对待利益相关者被认为是合意的（例如在父母、孩子与宠物的情形中），那么这可以通过调整各利益相关者的效用函数，或采取“一次一票”而非“一人一票”的办法来实现。计算式（10-33a）中E（u）和式（10-33b）中V（u）时的选票数，即式（10-18）中的ni，可能是不同的，而分别为。在这种情况下，式（10-33b）中的E（u）必须用来计算，以确保式（10-33b）是正确的，但对式（10-33c）中σ（u）的解释成为一个问题。
自由、平等与博爱
式（10-33a）和式（10-33b），或等价地，式（10-33a）和式（10-33c）中的两个标准，可以被看作是法国和美国基本目标的融合。美国公开宣称的“追求幸福”的权利即寻求最大期望效用的权利。法国的“自由、平等与博爱”和美国的信仰均包含了“自由”，而式（10-33b）中的标准将平等加入了我们自己提出的目标。至于博爱，在我们看来，自由和追求幸福要求人们拥有选择对谁博爱的自由。1