马科维茨和范戴克方法

《风险-收益分析：理性投资的理论与实践（第2卷）》马科维茨和范戴克方法,页面无弹窗的全文阅读!

在第8章中，我们讨论了动态规划（DP）的“维数诅咒”问题。有1～2个恰当限定取值范围的状态变量的动态规划运算很容易处理，而有3个或4个状态变量的动态规划计算已经变得困难。状态变量超过4个，动态规划运算就完全不可行。

马科维茨和范戴克（Markowitz and van Dijk，2003），以及克里兹曼、米尔格伦和佩奇（Kritzman，Myrgren，and Page，2009）给出了同一种试探法的两个版本。这种试探法被证明在处理动态规划的维数诅咒问题上相当有效。具体而言，马科维茨和范戴克（MvD）将这一方法应用于可计算出动态规划最优解的问题，结果发现MvD试探法给出的期望效用与最优策略给出的期望效用几乎相等，并且MvD试探法显著优于标准的试探法。克里兹曼、米尔格伦和佩奇（KMP）则将MvD试探法同时应用于小型和大型问题，即那些能够经济地求出最优解的问题与不能经济地计算出最优解的问题。他们发现，当能够计算出大型问题的最优解时，MvD试探法给出了接近于最优的结果，并且无论在小型还是大型问题中，MvD试探法均明显优于标准的试探法。实际上，MvD试探法已经被应用于大型投资组合调整应用程序。1

MvD试探法背后的基本思想是这样的：马科维茨（Markowitz，1959）著作第13章的建议（这些建议在前面总结过），实际上假定导出效用函数Ut（st）近似是构成st的状态变量的二次函数。因此，通过选择E（R）、V（R）和R与其他状态变量的协方差的一个“好的”组合，投资者能够近似最大化E［Ut+1（st+1）］。马科维茨（1959）利用这一理由证明向投资者展示这些统计量是合理的，因为这样投资者就能够隐式地最大化EU。

相反，MvD试探法是显式的近似方法。MvD同样假设Ut（st）近似是二次的，并运用数值方法寻找“表现最佳的”二次式Q（st）。如果st包含多个状态变量，此时具有所有交叉乘积项的完整二次式较为复杂，那么MvD就从假设的某个简单但“足够好”的Q的特例开始分析。例如，或许仅仅平方和或构成st的变量的一个子集，即足以得到一个令人满意的近似。不管假设的Q函数是包含线性项和交叉乘积项的完整非齐次二次函数，还是一个更简单的特例形式，它通常都有一个参数向量α。通过选择这个参数向量，来得到表现“最好”的Q函数。MvD运用数值法来选择α。

这一切听起来非常复杂和难于计算。因此，虽然原则上可行，但迄今为止所进行的试验尚没有这样做。

MvD试验

如我们在第8章指出的，当放弃完全流动性这一假设时，动态投资情形的有效维数将会急剧增加。即使证券具有完全的流动性，当持续变化的收益预测使大量投资组合调整有必要时，情况更是如此。

马科维茨和范戴克发展了他们自己的试探法来专门处理变化世界中的非流动性投资。为检验这一方法，他们定义了一个简单、动态且可求出动态规划解的投资模型，并评估了他们的方法在这个模型中的表现。他们试验的目的是提供一份“读物”，以评价MvD方法对于那些无法经济地求出最优解的大型问题的表现如何。

MvD试验是一个投资博弈，它包含两种资产：股票和现金。投资者的投资组合可以是11种状态中的任意一种：没有股票，有10%的股票，有20%的股票，…，全部都是股票。投资者运用一个可以是如下5种预计状态中任何一种的预测模型：①非常乐观；②乐观；③中性；④悲观；⑤非常悲观。因此，视投资组合和预测模型状态的不同，整个系统可以是55种状态中的任何一种。当投资者改变其投资组合状态时，会产生交易成本。MvD假设博弈可以无限进行下去，博弈的效用函数使下一步最优行动是55个可能状态中当前状态的函数，而非模拟时间的函数，2因而最优策略可以写成一个11×5的行动矩阵。行动矩阵确定了下一个投资组合选择是当前投资组合和预计状态的函数。与行动矩阵相关联的是一个11×5的期望贴现效用矩阵，它是博弈从投资组合/预计状态（i，j）开始并在之后按照行动矩阵行动时效用现值的期望值（我们知道存在最佳的行动矩阵，因为总共只有有限个可能的行动矩阵）。

MvD模型概览

马科维茨和范戴克的专栏11-1对MvD模型进行了概述。在专栏11-1中，前两点指出模型假设t为一个月，并且无风险利率为固定的每月0.4个百分点（40个基点）。第3点中的表格显示，例如，如果预测模型处于状态1——最为乐观，那么下个月股票的期望收益为64个基点，收益的标准差为。表中接下来的4列给出了处于预计状态2～5时的类似统计量。

专栏11-1　马科维茨和范戴克投资模型概述

1.投资组合评估的时间间隔：1个月。

2.无风险利率rf为每月（假定固定不变）：0.004。

3.对不同的预计状态，股票每月收益的均值E1，…，E5和方差V1，…，V5：

注：Opt X是没有交易成本时在每一种状态下的最优投资。

4.不同预计状态之间的转移概率P：

5.总效用：

投资者的目标是最大化EU。对于所报告的例子，我们使用的月度贴现因子为d=0.99。

6.我们通常以“投资组合状态”：

i=1，…，11

来表示投资于股票的比例

p=0.0，0.1，…，1.0

注意

因此，在当前的讨论中，p=0.2对应着i=3。在计算一个时期的效用时，我们将时期t投资于股票的“有效比例”定义为

其中pt-1和pt分别是在时期t的期初和期末投资于股票的比例。特别地，给定状态j、当前股票比例pt-1和选择的股票比例pt，在时期t，投资组合的（时点）条件期望收益和收益的方差为

和

其中是给定t-1时预计状态的情况下时期t股票收益的均值和方差。在所报告的运行中，θp=1/2。

7.交易成本等于c|pt-pt-1|，c=0.005和0.02。

8.假设

Eu（Dt）=E（Dt）-kV（Dt）

其中u（Dt）与第5点中相同，k反映风险规避程度。对于所报告的例子，k=0.5。

9.假设投资组合的月度全部收益在减去成本后被分配掉，那么给定预计状态j、当前投资组合状态i和选择的投资组合状态g，在时点t-1，时期t的条件期望效用为

其中pt-1=0.1（i-1），pt=0.1（g-1），的定义见第6点。注意时期t的取决于t-1时的预计状态。

10.假设股票收益受某个（非常大的）数M的约束。

第4点中的表格显示，给定时期t的预计状态j（在表中左边一列），在时期t+1预计状态h（在表中最上面一行）发生的概率P（j，h）是多少。表的最后一列显示了各种预计状态的长期“遍历”稳态概率。而第3点中表的最后一列显示了一个随机数的均值和方差。这个随机数是通过首先根据稳态分布选取预计状态，然后在这个预计状态下选取股票收益而生成的[1]。

第5点是说投资者寻求最大化未来效用函数贴现的期望值。试验所使用的贴现因子为d=0.99（或者贴现率为每月0.01）。

设pt-1是时点t-1投资者投资组合中持有股票的比例，pt是在时点t计划持有的股票比例。第6点将该时期所持有股票的“有效比例”定义为由参数θp=1/2确定。在试验中，θp被设定为等于0.5。第6点还指出，由此产生的投资组合的月度期望收益和方差，是预计状态j、当前股票比例pt-1和计划比例pt的函数。投资于股票的比例与整数“投资组合状态”i的关系是p=（i-1）/10（事后看来，以P表示转移概率，p表示投资比例，或许并非最明智的符号设置）。第6点进一步指出了，这一时期投资组合收益的均值和方差是怎样取决于投资比例p、无风险利率rf，以及预测模型的预计状态给定时股票收益的条件均值和方差的。

第7点指出，MvD报告了两次试验的结果，一次试验的交易成本为c=0.005每美元成交额，另一次为c=0.02。

第8点假设第5点中的期望值Eu（Dt）能够由其均值方差逼近来确定。MvD使用的均值-方差权衡系数k等于0.5，从而Eu近似等于Elog（1+return）（参见第3章）。假设投资者的效用函数u（Dt）是近似二次的事实，并不一定意味着（c=0.005和c=0.02）两次博弈中的导出效用函数同样是近似二次的。

回到第3点中的表，注意最后一行给出了在没有交易成本，并且允许头寸为负和运用杠杆时，每种预计状态下最优的投资。它通过假定第6点中的θp=0和第8点中的k=0.5计算得到。

第9点指出，MvD试验假设每个月所有的收益减去成本后被“分配”了。特别地，它假设损失由投资者弥补，收益分配给投资者。这一假设体现在了两个地方：首先，体现在计算对这一时期期望效用的贡献时（如第9点所示）；其次，隐含地体现在如下假设中，即如果时点t-1投资者的目标比例是pt，那么事实上pt将是时点t投资于股票的比例。收益被分配的假设避免了状态空间的膨胀。

第10点假设证券收益受某个大数的限制。MvD利用这一假设证明等于。前者的运算可由一台（计算能力有限的）计算机在有限时间内趋近。而后者是既定的投资目标，无法在有限时间内由计算能力有限的计算机计算得出。

MvD的结果

在特定状态st给定的条件下，博弈的效用满足贝尔曼方程（Bellman equation）

其中，st是系统在时期t的期初即时点t的状态；最大化是针对状态st给定条件下所能采取的可能行动（在我们的例子中，就是从p=0.0，0.1，0.2，…，1.0中选择下一个p）；EU（st，α）是时期t的期望效用（在我们的例子中，由第9点给出）；等式左边的U（st）是从状态st开始的整个博弈的期望效用；等式右边的最后一项为贴现率乘以下一时期所有可能状态下这一效用的期望值。在下一时期，分布取决于当前的状态和所采取的行动。

MvD推测专栏11-1中博弈的导出效用函数U（st）可由一个投资组合的条件均值和方差的线性函数来充分近似

其中，Ept和Vpt是预测模型的当前状态给定时下一个月投资组合的均值和方差，而Ew和Vw是与预计状态无关的固定权重。这一推测被证明是相当成功的。表11-1和表11-2分别给出了DP解和MvD试探法的行动矩阵。在每个表中，A部分显示交易成本为c=0.005时的结果，B部分显示c=0.02时的结果。两个表中的每一部分，都表明了作为当前投资组合状态pt-1（在表的最左列）和预计状态（在每个表的最上面一行）函数的策略所建议的新的股票比例pt。例如，表11-1的A部分第一列指出，如果c=0.005，并且预测模型的状态为非常乐观，那么DP解规定了将投资组合状态调整为100%投资于股票，而不管当前投资组合状态如何；B部分则指出，如果c=0.02，并且预测模型的状态为非常乐观，那么DP解规定：当股票比例低于0.6时，将其调升至0.6；当pt-1≥0.6时，就让它保持在当前的水平上。表11-2表明，对于pt-1的所有取值和c的两个取值，当预测模型的状态为非常乐观时，MvD试探法要求采取与DP解规定的相同行动。

表11-1　最优行动矩阵：时点t的股票比例

（1200次迭代）

表11-2　MV试探法的行动矩阵：时点t的股票比例

①Ewt=4.40和任意的Vwt∈（-0.52，-0.35）给出相同的结果。

②Ewt=10.0和任意的Vwt∈（-1.06，-0.99）给出相同的结果。

表11-1的标题指出，A部分和B部分的行动表（action tables）均为DP算法1200次迭代的结果。A部分进一步指出，从第17次迭代开始它的行动表就是最优的，而B部分的行动表则从第211次迭代开始是最优的。换言之，DP运算表明，A部分的行动矩阵对于长度为17，18，19，…，1200的博弈是最优的。尽管如此，如MvD在其文章的附录A中所阐明的，无法据此得出结论认为表11-1中A部分是c=0.005时无限期博弈的最优行动矩阵。所能够确定的只是由这个行动表给出的无限期博弈的期望效用，与最优行动矩阵给出的期望效用相差甚小。在当前的例子中，差距在3.53×10-6之内。

当模型非常复杂时，对于给定的MvD试探法的参数，通常需要用到蒙特卡罗分析来估计专栏第5点中无穷和的期望值。但在MvD的说明性模型中，它可通过求解一个55×55的线性方程组而确定。我们利用这一点来计算Ew和Vw取不同值时式（11-1）中的EU。特别地，当c=0.005时，求得的最佳权数是

但Ew=4.4和从-0.35到-0.52的任意Vw也给出了同样大的EU，而Ew在任何方向上变动0.1都会使EU下降。表11-2中A部分的行动表与表11-1中A部分的DP行动表基本相同，除了A（2，2）和A（3，2）的值为0.2而非0.3外。

当c=0.02时，相同的运算给出了最佳的Ew和Vw

对Ew=10.0和（再一次）某个范围内的Vw，即Vw∈［-1.06，-0.99］，EU取得最大值。表11-2中B部分给出的行动与表11-1中B部分给出的行动相同，除了B（11，5）的值为1.0而非0.9外。

MvD的图1和图2（没有在这里复制）显示了采取：

◆DP策略

◆MvD试探法

◆其他试探法

时博弈的期望效用。它是博弈55种可能状态的函数。DP最优策略的曲线和MvD试探法的曲线很难区分，它们之间的差别小于图中线条的粗细。相反，其他试探法的曲线表明在多种状态下它们明显不是最优的。DP和MvD的EU相近，是因为它们的行动表相近，如表11-1和表11-2所示。

克里兹曼、米尔格伦和佩奇（KMP）试验

克里兹曼、米尔格伦和佩奇（Kritzman，Myrgren，and Page，2009）将MvD的二次替代法应用于投资组合调整问题。他们的试验考虑了一个投资组合，这个投资组合每两年重新优化一次，在两次重新优化之间有24次月度调整机会。每次投资组合调整都会产生成本，它等于两部分的和，即交易成本加上因持有的投资组合与合意投资组合偏离而产生的成本。目标是寻求一个策略，以最大化两年末财富扣除两项成本后的期望对数效用。KMP针对小型问题比较了MvD试探法和其他各种试探法以及DP解。

KMP用一个相当简单的二次式来替代月末导出效用函数，即一个常数乘以投资组合权重与目标权重的离差平方和

对他们的问题而言，使用该二次式要比使用投资组合的方差简单得多，因为后者需要用到某种协方差矩阵。他们的结论高度支持MvD的方法。

下面的表11-3～表11-6得自他们的表2～表5。表11-3显示了历史收益标准差和KMP的交易成本假设。表11-4显示了从2001年10月到2006年9月5类资产月度收益的历史相关系数。KMP求解的是使表11-5中的配置最优的期望收益，他们假设

表11-3　波动性与交易成本

表11-4　相关系数

表11-5　最优投资组合

表11-6　不同方法表现比较——总成本（基点）

注：表中显示了5000次蒙特卡罗模拟的结果。对于10～100种资产的情形，无法求得动态规划解。10～100种资产的情形使用的是等权重的股票投资组合，这些股票选取自标准普尔500指数。

KMP的试验包含了2、3、4、5、10、25、50和100种资产的情形。他们在2～5种资产的情形中使用的是资产类别，在10、25和100种资产的情形中使用的是个别证券。他们运用蒙特卡罗分析从具有上述矩的联合正态分布中抽取独立同分布的收益。除了估计MvD试探法给出的EU和小型问题DP解给出的EU外，KMP还评估了常用的调整试探法的表现，包括在特定时间调整的日历试探法，或在特定偏离程度上调整的允差试探法。对于日历试探法，他们在预先确定的时期对投资组合进行充分调整。对于允差试探法，他们在资产权重突破0.25、0.5、0.75、1、2、3、4和5个百分点的门槛时对投资组合进行充分调整。

表11-6总结了KMP的结果。在2种资产的情形中，DP比MvD试探法的表现好得多（前者产生的成本为6.31个基点，后者的成本为6.90个基点）（鼓励奖：MvD试探法的表现比其他试探法好很多）。随着KMP增加资产数量，DP相对MvD试探法的优势缩小。当资产数量达到5种时，结果反过来了。因此，对于m=5，MvD试探法“臻于完美”，这是因为DP运算必须假设可能的投资组合向量为一个网格上的点。随着资产数量增加，这样一个网格必定变得越来越粗。当资产数量超过5种时，KMP不再应用DP法，但他们基于直到100种资产的情形对试探法进行了评估。结果发现，相对其他所有试探法，MvD试探法显著降低了总成本。

关于MvD试探法的结论

MvD和KMP的例子表明，MvD二次替代法是一个前景广阔但远未成熟的方法。它基于凹效用函数的二次近似是稳健的这一性质，如马科维茨（1959）的著作中提出和本书第1卷第2～4章阐述的那样。该方法可从一个有关能够替代DP单期导出效用函数的简单二次函数子集的猜想着手，然后探究可能的近似最优的参数设置。在迄今为止尝试的两个例子中，初始的猜想是在尝试更为复杂的函数形式之前，先从一个最简单同时对于问题是可行的二次式着手。在两个试验中，猜想都发挥了较好作用。目前尚不确定的是，两个试验中提出的问题是否有什么特殊之处，使得它们特别适合于应用MvD方法，以及如果是这样的话，那么适于和不适于应用MvD方法的边界是什么。该方法10～20年的实践应用，应能使这个问题得以明确。

[1] 由于在这个模型中只有1种股票，因此选取了预计状态，股票收益也就确定了。——译者注