估计PV的均值、方差和协方差

《风险-收益分析：理性投资的理论与实践（第2卷）》估计PV的均值、方差和协方差,页面无弹窗的全文阅读!

如前面讨论过的，TCPA程序运用TSim将税前收益序列的一个样本转变为现值的一个样本

然后，TCPA程序从这个样本估计现值的均值、方差和协方差。实现这一点的一个明显方法，是将样本的均值、方差和协方差用作相应总体矩的估计值，但这一做法被证明是相当不稳定的。例如，表11-7的头两行给出了5个PV模拟分析的样本均值和标准差，每个模拟分析的样本大小均为S=25000（模拟分析针对税收递延账户中的新兴市场资产类别，TR=30，T=60，样本得自一个独立同分布的联合对数正态收益生成器，该收益生成器用到了第一环球公司对资产类别的均值、方差和协方差的前瞻性估计值）。从一个样本到另一个样本，样本均值特别是样本标准差变化相当之大。特别地，样本1的标准差为$51.84，而样本3的标准差为$27.91。问题在于，PV的分布是高度偏斜的，并且样本的标准差（σ）对异常值非常敏感：如果一个样本的右尾异常值比另一个样本多一些，那么这个样本的σ就会比另一个样本大很多。我们发现如下的估计方法十分令人满意：

◆假设PV的分布是联合对数正态的，从而log（PViks）是联合正态分布的。

◆将log（PViks）的样本均值、方差和协方差用作潜在正态分布的参数估计值。

◆从两组矩的关系中推断PV的均值、方差和协方差。参见第3章的注释2。特别地，如果R和S是联合对数正态分布的，那么RS也是联合对数正态分布的，因为log（RS）=log（R）+log（S）。因此，该注释可以用于估计E（RS），从而可以用于估计cov（R，S）。

表11-7的最后两行显示了由这一方法得到的稳定得多的估计值。特别地，估计的标准差在最低$29.78到最高$33.44之间的范围内变动。

表11-7　两种不同估计方法得到的不同TCPA运行的均值和标准差估计值比较①

①数值经过了四舍五入。计算时使用的是未经四舍五入的数值。

有效边界展示

提款流的现值并没有什么直观的意义，对本书作者是如此，对门外汉投资者更是如此。用于消费的平均提款额更有吸引力。对于给定的样本s和AC/LOC的i和k，用于消费Ciks的平均提款额可以是一个简单（等权重的）平均数，也可以是一个更一般的加权平均数

其中，TR+1是退休后（分配阶段）的第一期，wt是任意的非负数，它们的和等于1。对提款额进行加权，权数与计算PViks时所用到的贴现因子成比例，被证明是最容易处理的，也是有理论依据的。于是

其中

式（11-6）和式（11-7）意味着加权平均消费与样本的现值成比例，也即

从而

我们可以向投资者展示有效的E（Ap）、σ（Ap）边界，但这有一个问题，如图11-1所示。图11-1中的有效边界是一个针对TR=30和T=60，并且应税账户和税收递延账户中资产价值相等的投资者的TCPA程序，运用图11-3中列出的6个资产类别和两种配置的输出。图中的横轴是有效投资组合编号（efficient portfolio number，EPN）。具有最小V（Ap）的有效投资组合被赋值EPN=1，具有最大E（Ap）的有效投资组合被赋值EPN=100。EPN=1和EPN=100之间相继有效投资组合的标准差增量是相等的。

图11-1　一次TCPA运行的退休后平均消费的均值和中位数

图11-1显示了每一个EPN的期望Ap和中位数Ap。后者通过假设PV是对数正态分布的而计算得到。根据前一节对取样注意事项的讨论，这看起来似乎是合理的。在图中，E（Ap）曲线和中位数Ap曲线之间的差距表明了Ap分布的偏度。特别地，前者在EPN=100时达到最高点，而后者在EPN=54时取得最大值。中位数曲线从EPN≈15开始相当平坦。在EPN为50和55的范围内，对于$100000的初始财富，平均消费的期望值大约为$34000/年，但平均消费只有50%的概率超过$10500/年。

图11-2显示了图11-1中分析的50%、75%和95%置信水平下的风险价值（VaR）。例如，我们看到EPN=1的投资组合具有最佳的95%的VaR，但却有着糟糕的中位数Ap；EPN=13的投资组合的中位数Ap不太糟，75%和95%的VaR在我们看来也是可以接受的——当然，选择取决于投资者。我们提出图11-2，是为了直观地展示对投资者可行的机会。

图11-2　在一次TCPA运行中，退休后平均消费大于L的概率为50%、75%和95%时的水平L